Marche aléatoire: où est l'erreur?
Bonjour à toutes et à tous,
Je considère la marche aléatoire $(Z_n)$ avec $Z_0=0$ et $Z_{n+1}=Z_n+X_{n+1}$ avec $(X_n)_n$ des v.a.r. indépendantes de loi $P_{X_n}=\frac{1}{2}(\delta_{-1}+\delta_1)$. Je considère un entier $A>0$ et je m'intéresse aux temps d'atteinte du point $A$ et de l'ensemble $\{-A,A\}$.
Il est aisé de voir que $(Z_n^2-n)$ est une martingale. Si je considère les deux temps d'arrêt $\tau=\inf\{n\geq 1 : Z_n=A\}$ et $\sigma=\{n\geq 1 \ : \ |Z_n|=A\}$, nous sommes censés avoir $E(Z_\tau^2-\tau)=E(Z_\sigma^2-\sigma)=0$, vu que $(Z_n^2-n)$ est une martingale. De plus nous avons $Z_\tau=Z_\sigma=A^2$, de fait nous obtenons que
$$
E(\tau)=E(\sigma)=A^2.
$$
Mais est-ce logique que les temps d'atteinte du point $A$ et de l'ensemble $\{-A,A\}$ soient les mêmes en moyenne?
Merci par avance,
Blue.
Je considère la marche aléatoire $(Z_n)$ avec $Z_0=0$ et $Z_{n+1}=Z_n+X_{n+1}$ avec $(X_n)_n$ des v.a.r. indépendantes de loi $P_{X_n}=\frac{1}{2}(\delta_{-1}+\delta_1)$. Je considère un entier $A>0$ et je m'intéresse aux temps d'atteinte du point $A$ et de l'ensemble $\{-A,A\}$.
Il est aisé de voir que $(Z_n^2-n)$ est une martingale. Si je considère les deux temps d'arrêt $\tau=\inf\{n\geq 1 : Z_n=A\}$ et $\sigma=\{n\geq 1 \ : \ |Z_n|=A\}$, nous sommes censés avoir $E(Z_\tau^2-\tau)=E(Z_\sigma^2-\sigma)=0$, vu que $(Z_n^2-n)$ est une martingale. De plus nous avons $Z_\tau=Z_\sigma=A^2$, de fait nous obtenons que
$$
E(\tau)=E(\sigma)=A^2.
$$
Mais est-ce logique que les temps d'atteinte du point $A$ et de l'ensemble $\{-A,A\}$ soient les mêmes en moyenne?
Merci par avance,
Blue.
Réponses
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Non, ça n'est pas logique : pour s'en convaincre, on peut prendre A=1
Le temps d'attente de {-1,1} est 1 ps. tandis que le temps d'atteinte moyen de 1 est strictement supérieur à 2 -
$Z_{\tau}^2-\tau$ n'est pas intégrable.
-
Merci pour vos réponses. En fait il faut faire très attention au moment d'appliquer le théorème de Dobb, par exemple $(Z_n)$ est martingale, pourtant $E(Z_\tau)=E(A)=A\neq E(Z_0)$ pour tout $A\neq 0$. Par contre il n'y a pas de problème pour affirmer que $E(Z_\sigma)=E(Z_0)$ car la suites de var $(Z_{\inf(n,\sigma)})$ est bornée.
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