Différentiabilité du supremum
Bonjour,
Je suis en train d'étudier une fonction numérique réelle $f(\phi)$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ définie par une relation de type:
\[f(\phi) = \sup_{\alpha\in\Theta} g(\alpha,\phi)\]
où $g$ est une fonction de $\mathbb{R}^{2d}$ dans $\mathbb{R}$ dont les propriétés sont à préciser. $\Theta$ est un ouvert de $\mathbb{R}^d$.
J'aimerais savoir quel type d'hypothèse il faut imposer sur $g$ pour que $f$ soit différentiable.
Merci d'avance pour tte toute réponse ou idée menant à la résolution du problème.
Je suis en train d'étudier une fonction numérique réelle $f(\phi)$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ définie par une relation de type:
\[f(\phi) = \sup_{\alpha\in\Theta} g(\alpha,\phi)\]
où $g$ est une fonction de $\mathbb{R}^{2d}$ dans $\mathbb{R}$ dont les propriétés sont à préciser. $\Theta$ est un ouvert de $\mathbb{R}^d$.
J'aimerais savoir quel type d'hypothèse il faut imposer sur $g$ pour que $f$ soit différentiable.
Merci d'avance pour tte toute réponse ou idée menant à la résolution du problème.
Réponses
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J'ai eu une bout de solution. Il est possible d'utiliser un théorème de fonction implicite globale et l'appliquer sur le gradient de la fonction objective.
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Disons $\Theta$ ouvert fixé. Moi je dirais que si le sup est fait sur un ouvert $\subset \Theta$ c'est simple tu y prends la restriction si c'est un fermé la restriction aussi. Donc si $g$ est différentiable $f$ l'est aussi. Même je pense ça suffit la différentiabilité partielle par rapport à $ \phi$.Tous dépend de $g$.
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En fait, je ne comprends pas le lien entre la restriction de la fonction que ça soit fermée et la différentiabilité. Sans doute, tout dépend de $g$.
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Oui .Différentiabilité par rapport à $\phi$ et là un exemple fallait éclaircir la situation et Pour moi aussi. Mais on peut définir la différentiabilité totale si ce fermé est une sous variété
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Les fonctions peuvent être aussi différentiables que l'on veut, les ensembles aussi ouverts et fermés que l'on veut, le max en question n'est en général pas différentiable partout. Exemple $g(\alpha,\phi)=\sin(\phi-\alpha)\cos(\alpha)$.
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Ça parrait "smooth" la deuxième figure?
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Le maximum ne me paraît pas très dérivable vu d'ici dans l'exemple de remarque !
Sinon on peut prendre une fonction du type définie par :
1) $f(a,b)=0$ si $a \le 0$ ou $b \le 0$.
2) $f(a,b)=\hbox{min}(ab,1)$ sinon.
Alors $a \mapsto \sup_b f(a,b)$ n'est même pas continu. Vous allez me dire que la fonction initiale n'est continue [différentiable ? AD] mais une fois que vous avez l'image en tête il n'est pas difficile d'imaginer une fonction lisse pour laquelle le sup se comporte de la même manière. -
Donc pour le premier exemple on obtient fonction zic zac comme max ? Merci à Remarque et H
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Aux points selles on aura des pts anguleux pour supremum.? C'est ça? $\alpha$ axe horizontale ou verticale?8-)
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Ce n'est pas une question de point-selle. Il suffit d'imaginer une ligne de collines ou de montagnes vue de loin pour se rendre compte que le max en question n'est pas différentiable.
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Juste moi j'obtiens le max comme courbe sinusoïde traversant les milieux des bosses rouges
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Tonm écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1030039,1033097#msg-1033097
?????
J'ai bien un autre dessin, mais peut-être la censure ne le laissera pas passer... -
Oui .mais si on considère tout le domaine (sur toute la première figure) i.e tenant compte d une autre période. Vous me saisisez?
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Et alors ? Il n'en reste pas moins qu'un max comme cela n'est en général pas différentiable. C'est évident.
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Oui 100%
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(tu)
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H écrivait:
> @remarque : tonm te dit sans doute juste que dans
> ton premier exemple, le sup est lisse. En $\phi$
> c'est $\frac12(\sin\phi+1)$ ou un truc dans le
> genre.
Si on prend un intervalle correct pour montrer que le max n'est en général pas différentiable, j'en doute fort. Si on cherche un cas particulier où il est différentiable, ce n'est pas exclu qu'on y arrive... -
On parlais au départ de fonctions définies sur tout $\R^d$. Comme tu n'as rien précisé j'ai implicitement rétabli l'hypothèse que ta fonction était définie sur $\R^2$. J'ai eu tort :-) ?
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Un exemple très simple où le sup n'est pas différentiable, considérer $g(\alpha, \phi)=\alpha\phi$ et $\theta=]-1,1[$. Alors il est facil de vérifier que $f(\phi)=|\phi|$.
Il me semble qu'une condition sufisante pour que $f$ soit différentiable en $\phi$ est que $g$ soit de classe $C^1$ et $\arg\min_{\overline{\theta}}g(\cdot,\phi)=\{\alpha^*\}$, alors dans ce cas là $Df(\phi)=D_2g(\alpha^*,\phi)$, sauf erreur de ma part, mais je ne suis pas sût vu que $\theta$ est un ouvert par hypothèse. -
@ H : bourbachiquement tu n'as pas tort. Mais enfin, il est facile de changer l'exemple pour que le dessin affiché soit le même et que la fonction soit définie sur $\R^2$ entier. Et ce qui compte, c'est qu'un max comme ça, quel que soit l'ensemble sur lequel il est défini et quelle que soit sa régularité, n'est en général pas différentiable (mais je commence à avoir un peu l'impression de me répéter là).
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Chais pas. Elle est différentiable, ta massue cloutée ?
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Vu les piques, non, elle est pas franchement lisse ;-)
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Parfait ! Je prends ! (tu)
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Merci pour cette chaleureuse discussion. En fait, je sais bien qu'en général, la fonction $f$ n'est pas différentiable. Il n'y a même pas de raison pour qu'elle soit continue.
En fait, il y a un théorème de Berge (théorème du maximum) qui donne des conditions pour que $f$ soit semicontinue inférieurement.
Par contre en ce qui concerne la différentiabilité, je suis en train de lire le chapitre 10 de "Variational analysis - Rockafeller" où on traite le sujet de ce genre de fonction. C'est juste aujourd'hui que j'ai trouvé ce chapitre. J'espère trouver une réponse complète.
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