martingales

Bonjour,

J'ai une question à poser sur les martingales, je m'excuse si le sujet a déjà été traité.

Soit $(\mathcal{F}_t)$ une filtration d'un espace probabilisé, et $(X_t)$ un processus adapté et intégrable par rapport à la filtration $(\mathcal{F}_t)$. On suppose que $X_0=0$ et pour tout temps d'arrêt $\tau$, on a $E(X_\tau)=0$ (peut-être pour que cette espérance soit correctement définie il faut que $(X_t)$ soit progressivement mesurable?).

Est-ce que $(X_t)$ est une $(\mathcal{F}_t)$-martingale?

Merci par avance.

Réponses

  • Si $(B_t)_{t\geq 0}$ est un brownien, est-ce que $(t B_t)_{t\geq 0}$ est une martingale ?
  • Siméon
    À moins que je dise une bêtise, si je choisis le temps d'arrêt $\tau$ défini par $\tau(w)=\inf\{t\geq0 \mid B_t(w)\geq 1\}$, j'obtiens que $\tau B_\tau\geq\tau$,
    donc $E(\tau B_\tau)\geq E(\tau)>0$ vu que $\tau$ est positif et non nul.

    [Inutile de recopier le message précédent. AD]
  • C'est tout à fait juste, ma réponse était hors-sujet.
  • Oui bien vu, mes hypothèses impliquent la nullité du processus $(X_t)$. En fait j'étais en train d'essayer de comprendre une étape de la preuve du théorème de représentations des martingales browniennes, et pour établir que le crochet $<Y,B>$ est nul, ce qui revient à montrer que $(Y_tB_t)$ est une martingale, l'auteur établit que pour tout temps d'arrêt $\tau$, $E(Y_\tau B_\tau)=0$. De fait il montre que $YB=0$ ce qui prouve que $<Y,B>=0$.

    Je pensais en fait que l'auteur utilisait un argument du style $E(Y_\tau B_\tau)=0$, pour tout temps d'arrêt $\tau$, implique que $(Y_t B_t)$ est martingale.

    Merci, et à bientôt.
  • En fait je pense avoir dit une bêtise, par exemple si $(B_t)$ est un mouvement Brownien qui part de $0$, alors pour tout temps d'arrêt $\tau$ borné, on a $E(B_\tau^2)=E(\tau)$, ce qui prouve que $E(B_\tau^2-\tau)=0$ pour tout temps d'arrêt $\tau$, alors que $B_t^2-t\neq0$ presque sûrement.

    Le calcul de $E(B_\tau^2)$ que j'ai réalisé est le suivant: si $\tau$ est majoré presque sûrement par $T$, alors $$B_\tau=\int_0^T1_{\{\tau\geq s\}}dB_s.
    $$ De fait par une propriété d'isométrie, on a $$E(B_\tau^2)=E\left(\int_0^T1_{\{\tau\geq s\}}ds\right)=\int_0^TP(\{\tau\geq s\})ds=E(\tau).
    $$ J'obtiens la deuxième égalité par Fubini. Vu que je suis vraiment débutant en probabilité peut-être mon calcul n'est pas correct.

    PS: j'ai obtenu la réponse à ma question dans ce cours de Master 2: http://isfaserveur.univ-lyon1.fr/~jiao/enseignement/Paris7/M2credit/2.pdf Il s'agit de la proposition 2.3.2 page 7 du fichier.
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