Euclidien vs principal

Bonsoir,

aujourd'hui, un de mes ex-étudiants m'a posé une colle: il y a-t-il des résultats "substantiels" qui marchent pour les anneaux euclidiens, mais pas pour les anneaux principaux ?

Je n'ai guère pu lui dire autre chose que le résultat classique sur les générateurs de $GL_n(A)$ et $SL_n(A)$.

Avez-vous d'autres idées ?

Réponses

  • Je pense que la différence est plus au niveau algorithmique non ? Dans les anneaux euclidiens on peut déterminer facilement des pgcd, des éléments générateurs d'un idéal, etc.
  • Ben, c'est ce que je lui ai répondu, mais la question est néanmoins intéressante et mérite d'être soulevée.

    Donc, à part les résultats de génération de $GL_n(A)$ et $SL_n(A)$, il y a-t-il des résultats intéressants et non triviaux qui seraient vrai pour un anneau euclidien, mais pas un anneau principal ?
  • Bonsoir,

    On a bien le résultat suivant : Soit $A$ un anneau euclidien. Il existe $x \in A \setminus A^\ast$ tel que l'application "projection" $A^\ast \cup \{ 0 \} \longrightarrow A/(x)$ soit surjective. Pour la preuve, il s'agit de prendre un non inversible (non nul) minimisant le stathme.

    Il sert par exemple à montrer que $\mathbb{Z} \big[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}\big]$ n'est pas euclidien (alors qu'il est principal).

    Azraël
  • Certes, mais ce n'est qu'un petit lemme technique. Je suis plutôt à la recherche d'un vrai théorème...
  • Wikipedia dit : “When $A$ is a Euclidean domain (e.g. a field, or the integers) $SK_1(A)$ vanishes, and the determinant map is an isomorphism from $K_1(A)$ to $A^\times$. This is false in general for PIDs, thus providing one of the rare mathematical features of Euclidean domains that do not generalize to all PIDs. [...]”
  • Les anneaux principaux sont les anneaux noethériens de Bézout. Autrement dit, on peut les caractériser par une propriété du premier ordre appliqués aux noethériens, ie ce sont les anneaux noethériens ayant la propriété P où P est du 1er ordre et bien choisie.

    Peut-on faire de même pour les euclidiens? Si la réponse est non, ça peut pas mal les différencier des principaux
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • C'est quoi $SK_1(A)$ ?
  • En fait, Jer anonyme a triché, puisque son résultat n'est qu'une reformulation $K$-théorique du résultat de génération de $SL_n(A)$ par les matrices élémentaires lorsque $A$ est euclidien (et qui ne marche pas si $A$ principal) :-P

    Je reste donc sur ma faim...
  • christophe c a écrit:
    Les anneaux principaux sont les anneaux noethériens de Bézout. Autrement dit, on peut les caractériser par une propriété du premier ordre appliqués aux noethériens, ie ce sont les anneaux noethériens ayant la propriété P où P est du 1er ordre et bien choisie.
    Peut-on faire de même pour les euclidiens? Si la réponse est non, ça peut pas mal les différencier des principaux
    Attention, un anneau primcipal est par définition intègre (sans quoi on ne pourrait pas avoir "A est principal si et seulement si tout sous-module d'un A-module libre est libre" ainsi que toute la théorie qui en découle). Alors que $\mathbb Z / 4 \mathbb Z$ est évidemment noethérien et de Bézout.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Gregingre,
    J'interviens naïvement dans la discussion:
    Si un anneau euclidien est nécessairement principal , comment un résultat pourrait être vrai pour un anneau euclidien et pas pour un anneau principal?

    Desolé, ....vais de suite aller dormir
  • @foys, oui pardon, mais intègre est bien une propriété du premier ordre, j'aurais dû dire: un anneau principal est un anneau noethérien intègre et de Bézout
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • On the other hand, George Bergman has drawn my attention to P. M. Cohn's "On the structure of $\mathrm{GL}_2$ of a ring," IHES Publ. Math. No. 30 A966), giving examples of principal rings where one cannot use row and column operations in Theorem 7.9.
  • @ Jer anonyme : Ton théorème 7.9 est le théorème des facteurs invariants ?

    Car s'il est toujours possible de prendre les matrices de passage comme produit de transvections pour $A$ euclidien, il me semble qu'il existe des anneaux principaux où ce n'est pas possible.
  • Assume that the elementary matrices in $R$ generate $GL_n(R)$. Let $(x_{ij})$ be a non-zero matrix with components in $R$. Then with a finite number of row and column operations, it is possible to bring the matrix to the form
    \[\begin{pmatrix}a_1&0&\cdots&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&&\vdots\\\vdots&\ddots&a_m&\ddots&\vdots\\\vdots&&\ddots&0&0\\0&\cdots&\cdots&0&0\end{pmatrix}\]
    with $a_1\cdots a_m\ne0$ and $a_1\mid a_2\mid\cdots\mid a_m$.
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