Limite de la série x/k-sin(x/k)

Je retire ce que j'ai dit sur $\zeta$ après avoir poussé une seconde mes calculs ! Mais développer en série resterait ma première idée.

Tu utilises le DL à l'ordre 1 en 0 de sinus: pour une certaine fonction $\epsilon$ de limite nulle en 0.$\sin x=x+x^2\epsilon(x)$

Tu peux alors utiliser le fait que si, pour un certain $\alpha>1$, on a $n^\alpha a_n$ qui tend vers 0, alors la série des $a_n$ converge (absolument).

Ici par exemple, avec $\alpha=2$
$$n^{2}\left(\frac{a}{n}-\sin\frac{a}{n}\right)=a^{2}\epsilon\left(\frac{a}{n}\right)\to0$$ et c'est fini.

Oups. Lu de travers. Désolé.

J'arrive à ceci

$ \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{a}{k}-\sin \frac{a}{k} = \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} a^{2n+1}}{(2n+1)! k^{2n+1}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} \zeta(2n+1) a^{2n+1}}{(2n+1)!} $
$ \displaystyle = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} a^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)!} \int_0^\infty \frac{u^{2n}}{e^u-1}du = a \int_0^\infty \frac{du}{e^u-1} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}(au)^{2n}} {(2n)!(2n+1)!} $

La série sous l'intégrale pourrait-elle s'exprimer pas des choses ressemblant aux fonctions de Bessel, ou dérivées d'elles ?