Somme inversible

Mickaël
Mickaël
dans Algèbre
Bonsoir,

Voici une question qui me dérange :


Soit $n \in \mathbb{N}$ et $N>n$. On considère $N$ matrices $A_1, \dots, A_N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A_1 + \cdots +A_n \in GL_n(\mathbb{R})$. Montrer que l'on peut trouver $k$ tel que : \[\sum_{i \neq k} A_i \in GL_n(\mathbb{R})\]
Pour cela dans le cas $n=2$ et $N=3$ on peut le faire à la main en traitant séparément les deux cas $\ker A_1 \cap \ker A_2 = \{ 0 \}$ ou pas. Si les deux noyaux sont en sommes directes quitte à changer de base on peut dessiner les matrices dans une base formée par des éléments de $\ker A_1$ et $\ker A_2$ et alors on s'apperçoit que si $A_1+A_2$, $A_2+A_3$ et $A_1+A_3$ ne sont pas inversibles, la somme $A_1+A_2+A_3$ ne l'est pas non plus.
Cependant cet argument "à la main" ne semble pas aboutir pour le cas général.

Avez vous des suggestions ?

Merci.

Réponses

  • dSP
    dSP
    Deux méthodes possibles :

    1. Se ramener au cas où $A_1=E_{1,1}$, puis raisonner par récurrence sur la taille des matrices considérées.

    2. Examiner la fonction polynomiale $f : (t_1,...,t_N) \mapsto \det \sum_{k=1}^N t_k A_k$.
  • Mickaël
    Mickaël
    Merci dSP

    Je pense emprunter la première voie. Pour cela, j'essaie de comprendre pourquoi on peut se ramener au cas $A_1=E_{1,1}$, et j'avoue ne pas trop comprendre pourquoi. Parce que pour ça on peut toujours écrire : \[A_1=\sum_{k,k'}[A_1]_{k,k'}E_{k,k'}\] mais ça fait augmenter le nombre $N$ de matrices et je vois pas par quel argument on se ramène à ce cas là.
    Est-ce que tu peux donner un petit peu plus de détails stp ?

    Merci.
  • dSP
    dSP
    Utiliser la notion de matrices équivalentes serait un bon point de départ.
  • Mickaël
    Mickaël
    Je suis d'accord pour dire que cela permet de supposer $A_1=J_r$ avec $=1 \leqslant r \leqslant n-1$, mais après pour pouvoir se ramener effectivement à $J_1$ il faudrait découper $A_1$ en somme de matrices de rang $1$ et

    Je suis désolé j'ai beaucoup de mal avec tout ce raisonnement, je n'ai jamais été très fort en algèbre, mais pourtant pas un cancre non plus ...

    Pour la récurrence sur la dimension en revanche c'est très clair, une fois que l'on peut supposer $A_1=J_1$ c'est ok. Mais je vois pas tellement pourquoi on a besoin de supposer $A_1=J_1$ car avec $A_1=J_r$ le raisonnement par récurrence (forte) semble fonctionner aussi !
  • dSP
    dSP
    Désolé, j'avais instinctivement complété l'énoncé en rajoutant une hypothèse qui fait tourner les choses.

    En fait, ton énoncé initial est incorrect : il suffit de prendre $N=2n$,
    $A_k=E_{k,k}$ pour $k$ de $1$ à $n$, et $A_{k+n}=-E_{k,k}$ pour $k$ de $1$ à $n$,
    pour obtenir un contre-exemple si $n\geq 2$.

    Il y a donc une première erreur dans ton énoncé : il ne faut pas supposer que la somme des $n$
    premières matrices est inversible, mais plutôt que la somme de toutes tes matrices l'est.
    Malheureusement, on ne peut pas se contenter de corriger l'hypothèse de la sorte, comme l'atteste le contre-exemple
    suivant : on prend $n=2$, $N=3$, $A_1=E_{1,1}$, $A_2=E_{1,1}$ et $A_3=-I_2$.
    La somme de deux quelconques de ces trois matrices est de rang $1$, et la somme des trois est inversible.

    Le "bon" énoncé que je connais consiste à supposer que toutes les matrices $A_i$ sont de rang $1$
    et que leur somme est inversible.
  • Mickaël
    Mickaël
    Voici l'énoncé que je voudrais résoudre en fait :

    On prend $N>n$ matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ telles que leur somme est inversible, et on veut en extraire une sous partie de $n$ matrices dont la somme est toujours inversible. En fait c'est cet énoncé dont j'aimerais trouver une solution !

    Désolé,
  • dSPautaf
    dSPautaf
    Comme je l'ai expliqué dans le message précédent, ton énoncé modifié
    est incorrect sans hypothèse supplémentaire (voir mon contre-exemple avec $n=2$ et $N=3$).
  • Mickaël
    Mickaël
    Non pas vraiment, avec le nouvel énoncé de la fin, si tu prends tes matrices $A_1=A_2=E_{1,1}$ et $A_3=-I_2$, la matrice $A_3$ est inversible et répond au problème.
    L'énoncé du dernier message n'est pas le même que celui du premier message dsl désolé, j'avais écrit n'importe quoi.
  • dSP
    dSP
    Ton énoncé n'autorise pas une solution consistant à prendre strictement moins de $n$ matrices...
  • dSP
    dSP
    Bon alors si je comprends bien ton énoncé est en fait le suivant :
    soit $A_1,...,A_N$ des matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$
    dont la somme est inversible, avec $N>n$. Il faut montrer qu'on peut en extraire un
    sous-ensemble stricte dont la somme est inversible (après, une simple récurrence descendante
    te permet de montrer qu'on peut en extraire un sous-ensemble ayant au plus $n$ éléments et donc la somme est inversible).

    Dans ce cas, ma deuxième idée fonctionne :
    il existe un polynôme $P(X_1,\dots,X_N)$ tel que :
    - pour tout $(t_1,\dots,t_N) \in \{0,1\}^N$, $P(t_1,\dots,t_N)=\det(\sum_{k=1}^N t_k A_k)$ ;
    - le degré de $P$ en chaque indéterminée $X_k$ est inférieur ou égal à $1$ ;
    - le degré total de $P$ est inférieur ou égal à $n$
    - $P$ n'est pas le polynôme nul.
    Par l'absurde, si $P$ s'annulait en chaque élément de $\{0,1\}^N \setminus \{(1,\dots,1)\}$ il serait
    multiple de chaque indéterminée $X_k$ (utiliser la seconde condition), et finalement $P$
    serait multiple de $X_1 \cdots X_N$ ce qui est absurde compte tenu de son degré total
    et du fait que $P \neq 0$.

    Au passage, le fait de travailler sur le corps des réels plutôt qu'un corps arbitraire n'a absolument aucune importance.
  • Mickaël
    Mickaël
    oui c'est vrai, et bien je tente une dernière fois :

    Parmi les $N$ matrices montrer qu'on peut en extraire $k \leqslant n$ telles que leur somme est inversible.
  • h
    h
    @dSP : pourquoi le degré en chaque indéterminé est-il au plus $1$ ?
  • dSPautaf
    dSPautaf
    Réponse à H : utiliser $t^k=t$ pour tout $t \in \{0,1\}$ et tout entier $k \geq 1$.
  • h
    h
    Diabolique ! Merci :-).
  • MrJ
    MrJ
    Je ne comprends pas non plus (même avec l'indication) comment tu vois qu'il est de dégré au plus $1$ en chaque indéterminée. (Si quelqu'un peut détailler un peu :-)).

    J'ai par contre réussi à conclure en raisonnement un tout petit peu différent : $P$ est homogène de degré $n<N$ (par multilinéarité du déterminant) et non nul, donc il existe un monôme non nul de $P$ ne contant pas une indéterminée $X_k$ pour $1\leq k \leq N$, donc $A_1+\ldots+A_{k-1}+A_{k+1}+\ldots +A_N$ est inversible. (C'est faux).
  • JLT
    JLT
    Si $P(X)=a+bX+cX^2+dX^3+\cdots$, alors le polynôme $Q(X)=a+(b+c+d+\cdots)X$ prend les mêmes valeurs
    que $P$ sur $\{0,1\}$. Même argument pour des polynômes à plusieurs variables.
  • MrJ
    MrJ
    Merci beaucoup, j'avais loupé qu'il ne voulait que l'égalité sur $\{0,1\}^N$ et par pour tout les points. (Il me semble qu'avec le raisonnement que j'ai indiqué ci-dessus, on peut éviter d'utiliser cette astuce).
  • dSP
    dSP
    MrJ, ce n'est pas parce qu'un des monômes non nul ne contient pas $X_k$
    que la matrice $\sum_{i \neq k} A_i$ est inversible. Du reste, l'un des contre-exemples que j'ai donnés plus haut permet de voir qu'il est tout à fait possible que le retrait d'exactement une matrice ne fournisse jamais de sous-somme inversible.
  • MrJ
    MrJ
    C'est vrai, désolé pour cette erreur. Comme la dit H, cette petite astuce est diabolique. X:-(
  • Mickaël
    Mickaël
    Merci beaucoup ! Très élégant comme méthode dSP !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français