Module de type fini d'annulateur trivial

Bonsoir,

je cherche un exemple d'anneau commutatif A et de A-module M de type fini et de torsion, dont l'annulateur soit trivial.

Les hypothèses impliquent que A est nécessairement non intègre. Pour l'instant, je sèche, mais j'ai l'impression de passer à côté d'un contre-exemple très simple...


Des idées?
«1

Réponses

  • Que signifie "de torsion" et que veut dire "annulateur"?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Sur cette page http://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_(algebra) on lit qu'un $A$-module $M$ est de torsion si pour tout $x \in M$ il existe $u \in A$ régulier tel que $ux=0$ (noter que sans la régularité on aurait du mal à assurer que l'ensemble des éléments de torsion d'un module est stable par somme et a fortiori un sous-module)

    Du coup il y a problème car si un module de torsion $M$ est engendré par $e_1,...,e_n$ et si $u_1,...,u_n$ sont réguliers avec $\forall i \in \{1,...,n \} u_ie_i=0$ alors $\prod_{i=1}^{n} u_i$ est un élément non nul de l'annulateur de $M$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Ou alors (en notant $Ann(X)=\{t \in A|\forall v \in X, tv=0\}$) tu cherches un module $M$ de type fini tel que $\forall x \in M$, $Ann(\{x\}) \neq \{0\}$ mais cependant $Ann(M)=\{0\}$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Perso, je n'inclue pas l'hypothèse "régulier" pour définir un élément de torsion, ce qui revient effectivement à l'interprétation que tu donnes. (Je suis quasiment sûr d'avoir ma version dans la littérature, mais effectivement cela engendre des problèmes/phénomènes inutiles ou évitables dans le cas non intègre.)

    Donc, je reformule: je cherche un $A$-module $M$ de type fini , avec $A$ commutatif, tel que pour tout $x\in M$, $Ann(x)\neq (0)$, mais $Ann(M)=0.$
  • Merci pour les infos, mais tu cherches "l'existence de" ou un exemple "concret de tous les jours"? Sinon, tu peux prendre la structure formelle qui te satisfait, elle n'est pas "quotidienne" mais il y a juste à montrer qu'elle marche
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  • Un exemple pas trop dégueulasse, ça serait mieux.

    Je devine ce que tu veux dire par structure formelle, mais j'ai du mal à voir comment tu pourrais la construire tout en gardant le caractère "type fini ."
  • Le type fini ne pose pas de problème, on choisit même le type 2. C'est l'anneau qui est plus construit formellement. On prend un ensemble $E$ tel que $E^2\subseteq E$ et même un peu plus stable que ça pour y mettre une structure d'anneau, $e_1,e_2$ et on décrète que $(x,y).(xe_1+ye_2)=0_M$, etc, etc. Le module c'est juste un quotient, c'est l'anneau qui est plus alambiqué***.

    Evidemment, il reste à prouver qu'aucun élément non nul n'annule et $e_1$ et $e_2$.

    *** qui est un quotient d'anneau libre sur blabla
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  • Je veux bien que tu détailles, si t'as 2 min...
  • Je surveille un DS, mais en gros, soit la structure libre $(S,\times, +,1,0)$ qui en plus est telle que $S^2\subseteq S$

    On la quotiente à minima par ce qu'il faut pour que ce soit un anneau, je garde le nom "S" pour ce quotient.

    On se place dans le $S$-module $S^2$. Que l'on quotiente par le sous-module engendré par les $((x,y)\times x,(x,y)\times y)$ quand $x,y$ parcourt $S$
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  • Par $S^2$ je veux dire $S\times S$, l'ensemble des couples d'éléments dans $S$.
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  • Christophe: dans ton exemple rien n'empêche $S$ d'être intègre.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • De mon tel oui pardon faut aussi quotienter S par l'idéal qu'on devine etc bref lier avec des sous-modules et des idéaux croissants les 2 désirs. Soit ça marche soit on finit par tomber sur 0=1 dans l anneau auquel cas il n'existe pas d'exemple du tout
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  • Ca va être très difficile de quotienter $S$ par un idéal idoine et en même temps de préserver la propriété $S^2 \subseteq S$
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Ça ça ne pose pas de problème: l'opération couple devient juste une opération binaire
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  • Si $S^2 \subseteq S$ et $I$ est un idéal de $S$ il n'est pas vrai en général que $(S/I)^2 \subseteq S/I$ (*). As-tu un $I$ explicite et une preuve que le cas échéant (*) est vraie? Comme les couples de $S/I$ ne sont pas ceux de $S$ on ne peut se contenter de dire qu'il suffit de prendre $I$ pour que ça marche.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @cc: je ne suis vraiment pas convaincu par ton exemple (l'explication me semble de toute façon trop vague pour que je puisse y voir clair), mais merci de t'intéresser à la question.

    De toute façon, je préférerais un exemple plus concret.

    Dans le cas non commutatif, il y a $A=End(V)$ et $M=V$ (où $V$ est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $K$).

    Hier, j'ai essayé d'adapter en remplaçant $A$ par $K[ u ]$, sans grand succès...je ne désespère pas néanmoins...
  • En fait pardon il n'y à pas besoin de requotienter Il suffit juste de se demander si l'annulateur du module ainsi obtenu contient ou pas les idéaux qu'on devine

    Mais c'est vrai ce n'est pas concret ça montre juste que la question est "du premier ordre en logique" île équivalente à une équation diophantienne
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  • Excusez-moi mais $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3$ en tant que $\mathbb{Z}/6$ module ça marche pas ?
  • Nan, c'est le premier truc que j'ai essayé ;-) $(1,1)$ est d'annulateur trivial.
  • Je ne suis pas sûr de comprendre la question et la discussion, l'idéal maximal des fonctions sur une courbe avec un point double ça te va?($A=kx,y/(xy)$, $M$=idéal maximal)

    M.
  • Est-ce que $x+y$ est de torsion?
  • Bonjour,

    Soit $K=\mathbb{F}_2$ un corps et $A=K[X,Y]/(XY^2,X^2Y)$. On considère le module $N=A \times A$, et le sous-module $P= \{(UX^2+VXY,VXY+WY^2) | U,V,W \in A\}$.
    Le module $M=N/P$ semble vérifier les conditions.
    En effet, $(X^2)= Ann(1,0)$,

    $(Y^2)=Ann(0,1)$;

    $(XY) \subset Ann(1,1)$.

    $Ann(M)\subset (X^2) \cap(Y^2)=(X^2Y^2)=(0)$.
  • @afk: bien vu et si j'ajoute x^2+y^2 à l'idéal?
  • Mon exemple est faux, car $Ann(1,X)=(0)$
  • Se pourrait-il finalement qu'il n'y ait pas de contre-exemple lorsque $A$ est commutatif?
  • J'essayerais bien quand même un truc du style $A=\mathbb F_2[u_1,\ldots,u_r]$ où $u_1,\ldots,u_r$ sont des endomorphismes de $V$ commutant entre eux, et $M=V$, où $V$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie (à déterminer).
  • Greg a écrit:
    Se pourrait-il finalement qu'il n'y ait pas de contre-exemple lorsque A est commutatif?

    Ce serait trop beau, un théorème comme ça serait probablement célébrissime, et tu en aurais entendu parler (et en connaîtrait moult preuve). En général les trucs du style $\forall\exists\to \exists \forall$ de ce genre sont célèbres

    Même genre de situation si c'était un problème ouvert.

    Ca aurait des conséquences spectaculaires sur les anneaux où tout idéal est égal à son bi-annulateur (un truc du genre que dans un tel anneau tout idéal de type fini serait principal ou ce genre-là)

    A mon avis c'est surtout que les modules "habituels" vérifient l'énoncé donc il faut chercher vers des modules plus tordus. Mais le mieux est surtout de supposer l'énoncé vrai pour tous modules, ou ne serait-ce que pour tout idéal et voir ce que ça entraine jusqu'à contradiction. Par exemple dans $\Z[X,Y] / (X^2;Y^2;2)$ ça entraîne*** qu'il existe un élément $P$ en dehors de $J:=(X^2)+(Y^2)+(2)$ tel que $\{XP, YP\}\subseteq J$. Rien que ça c'est beau. Donc encore quelques "déductions comme ça" et il semble que tu auras ton contre-exemple (et encore là je raconte ça pour les modules particuliers que sont les idéaux engendrés par 2 éléments)

    *** car $(XP+YQ)^2 = X^2P^2+Y^2Q^2 + {\Huge 2} PQXY\in J$

    J'ai juste pris une situation au hasard, je ne sais pas si c'est un exemple qui comble tes désirs.

    @ Mauricio: Greg cherche un module de type fini sur un anneau commutatif par exemple engendré par $e_1,...,e_9$ tel que pour tout élément $v$ du module, il existe un élément non nul $a$ de l'anneau tel que $av=0$, mais aussi tel que pour tout $x$ dans l'anneau, si pour tout $i: xe_i=0$ alors $x=0$
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  • Sauf si bien sûr c'est encore une des manifestations des propriétés un peu magiques du déterminant qui est une découverte vraiment étonnante.
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  • Bof, P=XY convient de manière évidente.
  • Merci JLT, non mais ce que je voulais dire c'est que si tu prends un anneau commutatif quelconque, et un idéal J de type fini quelconque dire qu'il n'y a pas d'exemple comblant les désirs de Greg, c'est en particulier dire qu'il existe un élément de $J$ dont l'annulateur est inclus dans $J^2$, etc, etc, c'est "par hasard" que j'ai choisi de prendre $\forall x\in J $ pick $y:=x$ such that put $xy:=0$.

    Donc l'absence de comblage du désir de Greg aurait des conséquences "formidables". D'ailleurs pourquoi ne pas tout simplement (dans mon exemple ci-dessus) affaiblir en disant qu'on se place carrément dans $\Z[X,Y] / $ l'idéal engendré par les $P^2X^2+Q^2Y^2+2PQXY$ :-D ? Bin parce que ce serait pénible de vérifier qu'alors peut-être que l'analogue du $P$ que tu viens de construire aura à la fois une inexistence difficile à prouver et une existence difficile à "trouver"
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  • Autre exemple: $\Z[X,Y,X',Y'] / (XX';YY';XY'+X'Y)$ et look at*** idéal engendré par $X,Y$ en pensant que

    $(PX'+QY')(PX+QY) = P^2 XX'+Q^2YY' + PQ( XY' + X'Y)$

    *** tu vas encore surement trouver un élément en dehors de $J$ tel que $\{PX;PY\}\subseteq J$?
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  • Ah bin moi aussi: $X'Y'$ lol
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  • En tout cas, je peux prouver que si I est un idéal de type fini constitué d'éléments nilpotents de A, alors l'annulateur de I est non trivial. Donc il ne faut pas chercher d'exemples de ce côté.
  • Bin en soi c'est un bon théorème, donc je présume qu'il est connu et pas forcément facile à prouver. L'énoncé envisagé par Greg le généralise en disant en particulier que si $J$ est de type fini alors $\exists x\in J: annul(x)\subseteq annul(J)$
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  • Dans un anneau de Boole par exemple, ça entraine que pour toutes parties A,B d'un ensemble $E$, il existe des parties $X,Y$ tels que $\forall Z: $ si $Z$ est disjoint de $XA+YB$ alors $Z$ est disjoint de $A\cup B$, autrement dit que $A\cup B$ est inclus dans $XA+YB$
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  • Ce qui est vrai :-D
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  • C'est quand même frustrant cette histoire. J'ai des exemples de tels modules:

    - avec $A$ non commutatif et $M$ de type fini

    - avec $A$ commutatif non intègre et $M$ non de type fini

    - avec $A$ intègre et $M$ non de type fini,

    et on sait qu'il n'y a pas d'exemple avec $A$ intègre et $M$ de type fini.

    Il ne manque plus que le cas $A$ commutatif non intègre et $M$ de type fini pour compléter mon tableau de chasse !
  • Comme je l'ai dit à mon post précédent ce n'est "réellement difficile" que quand le module est un idéal de $A$. Sinon, pour avoir un exemple avec $M$ de type fini et $A$ commutatif, il suffit de prendre un anneau de Boole "petit" et le gros module de toutes les parties d'un cretain $E$ par exemple, je détaille au post suivant
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  • Soit $E$ un ensemble (infini disons). Soit $B$ une toute petite sous-algèbre de Boole de $P(E)$. Soit $M$ le sous module de $P(E)$ engendré par deux ensembles $A,C$ bien éloignés de $B$ tels que $A\cup C=E$. Ton énoncé (enfin l'inexistence d'un contre-exemple) entrainerait la chose suivante: il existe $X,Y$ dans $B$ non tous deux vides, tels que $A\cap X=C\cap Y$. Je te laisse contruire $B; A,C$ pour que ça n'arrive pas (par exemple suffit de prendre $B$ construit sur des atomes bien gros, par exemples les parties de $\N^2$ qui sont constantes sur la première coordonnée)

    Par contre, une conséquence plus faible de ton énoncé qui serait que pour tout anneau commutatif $A$ et tout idéal $J$ de type fini, il existe un élément $a$ de $J$ tel que $annul(a)\subseteq annul(J)$ est plus mystérieux. Je n'ai pas l'impression que la même idée marche
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  • Bonjour
    CC a écrit:
    toutes les parties d'un cretain

    (tu)

    Cordialement,

    Rescassol
  • Je récapitule:

    énoncé général Greg1: tout module de type fini dont l'annulateur est nul a un élément dont l'annulateur est nul.

    Cet énoncé est faux (contre-exemple avec petite sous-algèbre de Boole d'une grosse comme anneau sous-module engendré par 2 éléments "anarchiques" de la grosse comme module)

    énoncé un peu moins général Greg2: Pour tout anneau commutatif, tot idéal de ttype fini $J$ contient un élément $a$ tel que $annul(a)\subseteq annul(J)$

    je sais pas si c'est vrai mais ce serait beau que ce soit vrai
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  • Désolé, cc, mais ton exemple ne me parle pas franchement...déjà, je ne sais pas ce que veut dire "petite sous-algèbre" ni ce que signifie "bien éloignés" pour des sous-ensembles.

    Mais bon, soit. Si j'ai bien compris ta suggestion:

    - on prend $B$ le sous-anneau de l'anneau de Boole $P(\N^2)$ engendré par $\N\times\{0\}$.

    - on prend $M=\{ (X\cap A)\Delta (Y\cap C), X,Y\in B\}$ , avec $A$ et $C$ des parties de $\N^2$ à déterminer.

    Et donc, tu prétends que $M$ est d'annulateur trivial, mais que tout élément de $M$ a un annulateur non trivial, c'est ça ?
  • Oui très exactement, je postais en même temps que j'ai la pression pour faire autre chose je suis peu dispo pardon), c'était pas très propre, en plus je me mélange souvent dans mes préférences entre prendre $vrai:=1$ et $vrai:=0$ (que je préfère). Mais tu as parfaitement reformulé.

    Et si $B$ n'était par hasard pas assez petit (ce dont je doute), on pourrait même se restreindre aux récursives
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  • D'ac. Penses-tu que si on prend $B$ le sous-anneau formé des parties cofinies de $\N^2$, ou même des parties cofinies de $\N$, ça marcherait encore ? il me semble que ça serait plus simple à manipuler.
  • Je pense que oui (de mon tel)
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  • Hum enfin plutôt non faut que les atomes soient gros qd même là on risque trop facilement d'avoir X inter A = complémentaire de Y inter C ce qu'il faut éviter (de mon tel)
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  • Quoique si pardon suffit de prendre A et C suffisamment indépendants (jai posté en pensant à A trop proche de C)
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  • Je rédige d'un cyber, avec des notations adaptées.

    Soient $E$ un ensemble infini. Soit $T$ l'anneau de Boole des parties de $E$ constitué des parties finies ou cofinies. On prend $ab:=a\cap b$ et $a+b:=$ différence symétrique de $a$ et $b$.

    Soient $e_1,e_2$ des parties de $E$ et soit $M$ le module obtenu en prenant toutes les parties de $E$ de la forme $xe_1+ye_2$ quand $(x,y)$ parcourt $T^2$.

    On a choisi $e_1,e_2$ pour que ni $e_1$, ni $e_2$ ne soit $E$ tout entier. Par contre, on s'est arrangé pour que $e_1\cup e_2=E$. Il s'ensuit que si $xe_1=xe_2=\emptyset$ alors $x=\emptyset$, que l'on notera $0$.

    On est donc face à un module dont l'annulateur est nul.

    Supposons que $x,y$ soient dans $T$ et que $xe_1+ye_2$ ait un annulateur nul. Il s'ensuit que tout élément $z$ disjoint de $xe_1+ye_2$ est nul. Donc $xe_1+ye_2=E$. C'est très exactement dire que $x\cap e_1=E\setminus (y\cap e_2) = (E\setminus y)\cup (E\setminus e_2)$. Si on a choisi $e_2$ de complémentaire infini alors cela entraine que $x$ est cofini. Autrement dit, pour presque tous les éléments $t$ de $E$ (tous sauf un nombre fini) de $E$, si $t\notin e_2$ alors $t\in e_1$. Cela contredit le choix (que je n'ai pas décrit :-D ) des $e_1,e_2$ qu'on a fait au départ.
  • :-X je suis agacé par mon traitement qui me rend incapable de toute rédaction sans 30% de fautes de frappe, pardon. Bon, je ne les corrige pas (d'autant que j'ai posté sous ccnc), chacun que ça intéresse a compris de toute façon. Je précise juste le choix de $e_1,e_2$ pour empêcher $xe_1$ d'être égal au complémentaire de $ye_2$: il suffit de prendre $e_1,e_2$ de réunion $E$ et d'intersection un ensemble infini et tout deux de complémentaire infini
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  • L'idée de Christophe marche mais avec les bons choix de $e_1, e_2$ (si jamais $e_1 \cap e_2$ est fini il peut y avoir des problèmes)

    Identifions $P(E)$ avec $\mathbb F_2 ^ E$ muni de la structure d'anneau produit pour simplifier. On note $1:=E, 0:=\emptyset, x+y := x \Delta y, xy := x \cap y$.
    S'il existe $x,y \in T$ tels que $xe_1+ye_2=1$ on aura $Ann(xe_1+ye_2)=\{0\}$ ce qu'on aimerait éviter. Noter que $1$ est le seul élément de $\mathbb F_2 ^ E$ d'annulateur nul dans $T$.

    Soient $A,B,C$ des parties disjointes, infinies de $E$ et telles que $A \cup B \cup C=E$. Enfin posons $e_1:=A \cup B$ et $e_2:=A \cup C$. Alors $\forall x,y \in T$, $xe_1+ye_2=xA+xB+yA+yC=(x+y)A+xB+yC \subseteq A+B+C=1$ avec égalité si et seulement si (vu les inclusions et unions disjointes en présence): $xB=B$, $yC=C$ et $(x+y)A=A$ autrement dit: $B \subseteq x$ et $C \subseteq y$.

    Supposons cette égalité avec $1$, cela entraîne que $x,y$ sont infinis donc de complémentaires finis (définition de $T$).
    Alors $x+y= (1-x)+(1-y)= (1-x) \cup (1-y) \backslash ((1-x) \cap (1-y))$ est un ensemble fini. Or ceci est impossible puisque comme $(x+y)A=A$, $A \subseteq (x+y)$ et que $A$ est infini.
    Donc: aucun élément de $<A \cup B, A \cup C>$ n'est égal à 1 et donc tous ont un annulateur non nul.

    Enfin, $E= e_1 \cup e_2$ donc si $x$ annule $e_1$ et $e_2$ (bref si $x \cap e_1=x\cap e_2=\emptyset$) on a $x=0$.
    Donc $Ann(<e_1,e_2>=\{0\})$
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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