Loi normale. Loi X/X' et -X/X'
Bonjour
Je suis dans un exo concernant la loi de Cauchy.
Le but est de trouver la loi de X/X' avec X et X' deux va suivant la loi N(0,1).
J'ai déjà déterminer une densité de abs(X/X'). J'obtiens: (2/pi) * 1/(1+t^2 )
(j'ai déterminer cette densité en étudiant d'abord la densité de ln( abs(X) ) , puis - ln( abs(X) ) , et puis produit de convolution ect...
Je bloque maintenant à la question:
Montrer que X/X' et -X/X' ont la même loi.
Ce que je pense, puisque si la densité de X est paire, alors X et -X ont la même loi, c'est que comme la densité de abs(X/X') est paire, alors la densité de X/X' est également paire, ce qui acheverait de démontrer ce que je cherche.
Mais est-ce vrai? J'ai un doute...
Pouvez-vous donc:
1) Me confirmer/infirmer que si densité de abs(X) paire, alors densité de X paire.
2) Si ce résultat est faux, pouvez vous m'aider à montrer que X/X' et -X/X' ont la même loi ? Merci!
maestroarte
Je suis dans un exo concernant la loi de Cauchy.
Le but est de trouver la loi de X/X' avec X et X' deux va suivant la loi N(0,1).
J'ai déjà déterminer une densité de abs(X/X'). J'obtiens: (2/pi) * 1/(1+t^2 )
(j'ai déterminer cette densité en étudiant d'abord la densité de ln( abs(X) ) , puis - ln( abs(X) ) , et puis produit de convolution ect...
Je bloque maintenant à la question:
Montrer que X/X' et -X/X' ont la même loi.
Ce que je pense, puisque si la densité de X est paire, alors X et -X ont la même loi, c'est que comme la densité de abs(X/X') est paire, alors la densité de X/X' est également paire, ce qui acheverait de démontrer ce que je cherche.
Mais est-ce vrai? J'ai un doute...
Pouvez-vous donc:
1) Me confirmer/infirmer que si densité de abs(X) paire, alors densité de X paire.
2) Si ce résultat est faux, pouvez vous m'aider à montrer que X/X' et -X/X' ont la même loi ? Merci!

maestroarte
Réponses
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Dans ce genre de situation, il s'agit souvent de montrer que les variables considérées ont la loi image d'une même loi $\gamma$ par une même transformation. La loi $\gamma$ est souvent une loi produit, donc il faut être à l'aise avec ce genre de choses.
-
J'ai vu la loi gamma mais je ne comprends pas votre propos... j'ai uniquement un niveau de prepa ECS (2A) . De plus, dans ces cas là, l'exercice aurait indiquer d'utiliser la loi gamma je pense, or là il n'en est rien.
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Non, je l'ai appelé $\gamma$ comme j'aurais pu prendre une autre lettre.
Je ne connais pas le programme de prépa ECS (en fait je ne sais pas bien ce que c'est, c'est la section qui prépare à l'ENS Cachan en Sciences Eco ?), mais je sens bien qu'avec ce que je t'ai dit, ça ne va pas le faire.
Qu'est ce que tu connais comme techniques pour caractériser une loi ? -
Comme ce sont des va à densité, si deux va sont la même fonction de répartition/densité alors elles ont la même loi.
Sur mon brouillon j'ai trouvé que si la densité d'une va X est paire, alors X est de même loi que -X .
Ici ce ne sont pas deux va quelconques, mais bien Y et -Y (avec Y = X/X' et X suit N(0,1) , par contre je pense pas que Y suive N(0,1) ).
Peut être faut il utiliser la densité de abs(Y) que j'ai calculer précédemment, mais je ne vois pas trop comment... -
Bonjour,
Je ne comprends pas quelque chose dans la densité de $\left|\frac{X}{X'}\right|$. Si sa densité est $\frac{2}{\pi}\frac{1}{1+t^2}$, alors la probabilité que $\left|\frac{X}{X'}\right|$ soit strictement négative vaut $1/2$, contredisant la positivité de cette variable aléatoire. -
Bonjour.
Quand tu as déterminé la densité de $\left|\frac{X}{X'}\right|$, tu as dû utiliser quelque part le fait que t est positif (en effet, l'intégrale de ta densité sur $\mathbb R$ fait 2, c'est en intégrant sur $\mathbb R^+$ qu'on obtient 1); cette densité est nulle sur $\mathbb R^-$.
Cordialement. -
Je suppose que dans les hypothèses de l'exercice, il est écrit que X et X' sont indépendantes.
Soit Y = -X et Y' = X'. Les va Y et Y' sont elles aussi indépendantes de loi N(0,1) (il faut seulement le justifier pour Y, et on utilise effectivement la parité de la densité de N(0,1)).
Le fait qu'elles sont indépendantes entraîne que la loi de Y/Y' ne dépend pas des variables elles-mêmes mais seulement de leur loi. Donc c'est la même que la loi de X/X'. -
"Le fait qu'elles sont indépendantes entraîne que la loi de Y/Y' ne dépend pas des variables elles-mêmes mais seulement de leur loi."
Oui, mais le problème est bien: comment démontrer ça avec les outils du programme de la classe concernée, qui aux dires de maestroarte, semblent très rudimentaires. Car pour faire ça, il faut avoir la notion de loi d'un vecteur (ça je suppose qu'ils l'ont, au moins quand le vecteur a une densité), et savoir encore que si deux vecteurs ont même loi, leurs images par une même fonction ont encore même lois... Les deux sont accessibles, mais l'empilement rigoureux me semble assez abstrait pour des non-matheux. -
Je ne connais pas le programme de la classe en question.
Mais si la notion de vecteur à densité fait partie de ce programme, on peut définir l'ensemble $D(a,b)$ des couples $(x,y) \in \mathbb R \times \mathbb R$ tels que $a \leq y/x \leq b$ et conclure que $P(X'/X \in [a,b])$ est égal à l'intégrale de la densité sur $D(a,b)$ (c'est possible même si - à la limite - on ne savait ni décrire $D(a,b)$ ni calculer l'intégrale). Comme $X$ et $X'$ sont indépendantes, la densité du couple est le produit des densités (au sens où $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y))$). On a donc la formule
$$P(X'/X \in [a,b]) = \int \!\!\! \int_{D(a,b)} f_X(x) f_Y(y) \, dx dy$$
qui montre que la probabilité dépend uniquement des densités $f_X$, $f_Y$ et évidemment des bornes $a$ et $b$.
Donc il faut vérifier si dans le programme en question figurent densité d'un couple et le fait qu'elle est égale au produit des densités des variables quand celles-ci sont indépendantes. -
Je suis bien d'accord, mais ça ne me semble pas du tout naturel à un niveau L1,L2, particulièrement non-math.
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Bonjour!
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