Nombres parfaits impairs

CyD · November 2014

Bonjour,

je voudrais vous soumettre une idée sur les nombres parfaits impairs, et savoir ce que vous en pensez.

Soit N un nombre entier impair supposé parfait.

Posons $n_i$ et $\widetilde{n_i}$, deux nombres entiers impairs diviseurs stricts de N tels que : $n_i*\widetilde{n_i} = N$

Posons $ \alpha $ comme étant le nombre de pairs de tels diviseurs pour un nombre donné, ici N.
i est simplement un indice qui va de 1 à $ \alpha $

Plaçons nous dans le cas où $N \equiv 3 $ Mod 4

Dans ce cas, $n_i+\widetilde{n_i} \equiv 0 $ Mod 4

Or, comme par définitions des nombres parfaits, N est égale à la somme de ses diviseurs stricts, on a :

$N = 1+ \sum_{i=1}^\alpha (n_i+\widetilde{n_i})$

on arrive à une contradiction car :

$1+ \sum_{i=1}^\alpha (n_i+\widetilde{n_i}) \equiv 1 $ Mod 4

et

$N \equiv 3 $ Mod 4

ce qui est impossible.

Qu'en pensez-vous ?
S'il y a une erreur dans la démonstration, pourriez-vous me l'indiquer ?
Il y a probablement un point que je n'ai pas vu.

Mercie par avance.

CyD

depasse · November 2014

Bonsoir,

je ne vois pas d'erreur dans ta démo.
Au pire un oubli de préciser que si N=3 mod 4, alors tes paires sont des "vraies" paires, vu qu'un carré ne peut égaler $3$ modulo $4$.
Cordialement
Paul

Essai · November 2014

Pourquoi ne pourrait-il pas exister un indice $i \in \{1, \dotsc,\alpha\}$ tel que $n_i + \widetilde{n_i} \equiv 2 \pmod 4$ ?

CyD · November 2014

Bonjour,

Paul, je vous remercie.
Je ne comprends pas bien votre phrase. Que voulez-dire par "vraies" paires ? = paires de nombres distincts ?

Essai,
il ne peut pas exister de tel paire de diviseurs car c'est une propriété des nombres N tels que $N \equiv 3 \pmod 4$.

En voici une démonstration :
Posons $x_i$ et $y_i$ des entiers naturels tels que $n_i = 2x_i+1$ et $\widetilde{n_i} = 2y_i+1$
D'où nous avons : $N=n_i*\widetilde{n_i} =(2x_i+1)(2y_i+1)=4x_iy_i + 2(x_i + y_i) +1 $

Comme $N \equiv 3 \pmod 4$, alors il existe un entier naturel T tel que $N = 4T+3$
donc, $4(T - x_iy_i) + 3 = 2(x_i + y_i) +1.$ En posant, $\tau_i = T - x_iy_i, $ on obtient $4\tau_i + 3 = 2(x_i + y_i) +1.$

Ce qui nous permets d'avoir :
$n_i + \widetilde{n_i} = (2x_i + 1) + (2y_i + 1) = 4\tau_i + 4 $

Cordialement,

CyD

Essai · November 2014

OK, mais ça va mieux quand on le dit. D'ailleurs, on peut rédiger plus rapidement : soit $N \equiv 3 \pmod 4$ et $d \mid N$. On pose $d = 1+2h$ et $N/d = 1+2k$ avec $h,k \in \mathbb{Z}$. Ainsi
$$3 \equiv N \equiv d \times N/d \equiv 1 + 2(h+k) \equiv d + N/d - 1 \pmod 4 \quad \textrm{et} \ \textrm{donc} \quad d + N/d \equiv 0 \pmod 4.$$
Le résultat est évidemment aussi valable pour $d=1$ ou $d= N$.

Essai · November 2014

Le reste de la démonstration me semble OK, mais il faut absolument éviter les horribles notations $\widetilde{n_i}$, etc, d'autant qu'on peut aisément s'en passer. Je propose la rédaction suivante.

Lemme. Soit $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $N \equiv 3 \pmod 4$. Alors $\sigma(N) \equiv 0 \pmod 4$.

Démonstration. Puisque $N \equiv 3 \pmod 4$, pour tout diviseur $d$ de $N$, on a $d + N/d \equiv 0 \pmod 4$ (voir ci-dessus). De plus, comme $N$ n'est pas un carré (important de le souligner, ça...), on a
$$\sigma(N) := \sum_{d \mid N} d = \sum_{\substack{d \mid N \\ d < \sqrt N}} \left( d + N/d \right) \equiv 0 \pmod 4$$
comme annoncé.

Corollaire. Il n'existe pas d'entier parfait $N$ tel que $N \equiv 3 \pmod 4$.

Démonstration. Supposons au contraire qu'il en existe un. D'après le lemme ci-dessus, on aurait alors $2N = \sigma(N) \equiv 0 \pmod 4$, et donc $N$ serait pair, d'où la contradiction.

Essai · November 2014

À noter que la démonstration ci-dessus permet de montrer qu'il n'existe pas de nombres $k$-parfaits impairs $N \equiv 3 \pmod 4$ dès lors que $4 \nmid k$.

À noter aussi que le résultat ci-dessus est une conséquence du résultat dû suivant à Euler : si $N$ est parfait impair, alors $N = p^e M^2$ où $p \nmid M$ et $p \equiv e \equiv 1 \pmod 4$.

Nombres parfaits impairs

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