Différentier une fonction probabiliste
Bonjour à toutes et à tous,
Je considère l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$ et également l'espace $L^2(\Omega,\mathcal{A},P;\mathbb{R}^d)$ des vecteurs aléatoires à valeurs dans $\mathbb{R}^d$ de norme au carré intégrable, quotienté par la relation d'égalité presque sûre.
Si $\varphi:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$ est une fonction différentiable, est-ce que la fonction $u:L^2(\Omega,\mathcal{A},P;\mathbb{R}^d)\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $u(X)=E(\varphi(X))$ est également différentiable, où $E$ est l'espace sous la probabilité $P$?
A mon avis ce résultat est assez classique, mais je n'arrive pas à le trouver.
Merci par avance,
Blue
Je considère l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$ et également l'espace $L^2(\Omega,\mathcal{A},P;\mathbb{R}^d)$ des vecteurs aléatoires à valeurs dans $\mathbb{R}^d$ de norme au carré intégrable, quotienté par la relation d'égalité presque sûre.
Si $\varphi:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$ est une fonction différentiable, est-ce que la fonction $u:L^2(\Omega,\mathcal{A},P;\mathbb{R}^d)\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $u(X)=E(\varphi(X))$ est également différentiable, où $E$ est l'espace sous la probabilité $P$?
A mon avis ce résultat est assez classique, mais je n'arrive pas à le trouver.
Merci par avance,
Blue
Réponses
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Ta fonction $u$ n'est pas bien définie (rien ne garanti l'intégrabilité de $u(X)$). Que rajoutes-tu comme hypothèses ? Pour la suite il faut mettre le nez dedans, faire un développement limité etc. Tu as essayé ? Il faudra peut-être rajouter encore une condition sur $\phi$.
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Merci pour votre réponse. On peut rajouter comme hypothèse sur $\varphi$ qu'il existe une constante $C>0$ telle que $|\varphi(x)|\leq C\|x\|^2$ pour tout $x$ en dehors d'un certain compact. Ceci garantie l'intégrabilité de $\varphi(X)$.
Pour la tentative de résolution, mon candidat pour être la diférentielle est $Du(X)(H)=E(D\varphi(X)(H))$. Il faut dans un premier temps une hypothèse sur $\varphi$ qui garantisse l'intégrabilité du terme de droite dans l'égalité. On peut imposer à $\varphi$ d'être Lipchitz de sorte que la norme de $D\varphi(x)$ soit bornée uniformément par rapport à $x$.
Pour vérifier que le candidat est bien la différentielle, il faut calculer la limite
$$
\lim_{\|H\|\rightarrow 0} \int_\Omega \frac{\varphi(X(w)+H(w))-\varphi(X(w))-D\varphi(X(w))(H(w))}{\|H\|}dP(w).
$$
Là dessus je bloque.
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