Un exercice basique

Herbert Quain
Herbert Quain
dans Géométrie
Bonjour à tous,
Je suis un très grand débutant en géométrie. L'exercice sur lequel je bloque est le suivant : trouver tous les nombres complexes $z$ tels que les points $z$, $z^{2}$ et $z^{4}$ sont alignés.
Je suppose qu'il s'agit de manipulations très basiques de géométrie mais je suis complètement paumé sur la manière par laquelle aborder le problème : si j'essaie de trouver une équation vérifiée par une droite, je tombe tout de suite sur des calculs relativement compliqués. Il y a certainement une manière intelligente de voir tout ça, mais je ne la vois pas.
Toute aide sur la méthode à mettre en oeuvre sera la bienvenue !
HQ

Réponses

  • ev
    ev
    Un déterminant nul ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Bah ouais, pourquoi pas, mais ça débouche sur des calculs pas beaux qui m'ont découragé. Bon, je retente.
  • JLT
    JLT
    a, b, c sont alignés si (c-a)/(b-a) est réel.
  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Bon, on est d'accords : $z=a+ib$, $z^{2} = (a^{2} - b^{2} + i2ab$ et enfin $z^{4} = a^{4} + b^{4} - 6a^{2}b^{2} + i \big(4a^{3}b - 4ab^{3} \big)$. Le déterminant de $z^{2} - z$ et $z^{4} - z$ implique des termes avec des $a^{5}$ et des $b^{5}$ qui ne se simplifient pas, à moins que j'ai planté les calculs.
  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Je précise également avoir tenté de passer en écriture $re^{i\theta}$ et ça n'a pas l'air de donner grand chose. Je veux bien continuer me battre avec tous ces trucs, mais il doit bien y avoir une manière plus simple de voir les choses, non ?
  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Bon, voici mon calcul du déterminant de $z^{4} - z$ et de $z^{2} - z$, en notations $z=(a,b)$, ordonné selon les puissances de $a$ :
    $$a^{5}(4b^{2} - 2b) + a^{4}(-4b^{2} - b) + a^{3}(-4b^{4}+8b^{3}) + a^{2}(-2b^{3}+b) + a(2b^{5}) + b^{3}+b^{5}$$
  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Bon, si quelqu'un y arrive, qu'il me fasse signe.

    Pour info, les solutions sont les nombres réels et les nombres qui s'écrivent sous la forme
    $$-\frac{1}{2} + ir, \quad \forall r \in \mathbb{R}$$
  • remarque
    remarque
    L'indication de JLT ne t'aide pas ? On peut la réécrire comme ceci : il existe $\lambda\in\R$ tel que $z^4-z=\lambda(z^2-z)$.
  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    J'avais déjà essayé cet après-midi et de toute façon, ces techniques sont similaires. Lorsque j'écris l'égalité $z^{4} - z = \lambda(z^{2} - z)$, cela donne : \begin{align*}
    a^{4} + b^{4} - 6a^{2}b^{2} - a &= \lambda (a^{2} - b^{2} - a) \\
    4(a^{2} - b^{2})ab& = \lambda(2ab-b)
    \end{align*}
  • xx
    xx
    $\dfrac{z^4-z}{z^2-z}=\dfrac{z(z^3-1)}{z(z-1)}=\dfrac{z(z-1)(\ldots)}{z(z-1)}=\ldots$
  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Merci.
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