A-B est-il fermé ?

ibtissam
ibtissam
dans Topologie
Svp aidez-moi.

Soient A et B deux parties non vides d'un e.v. E
L'ensemble A-B est défini par A-B = {a-b ; (a,b) € A*B}
Montrer que si A est compact et B est fermé alors A-B est fermé

Et merci d'avance.

Réponses

  • Maxime T.
    Maxime T.
    Salut,
    Qu'as-tu fais? De quelle propriétés disposes-tu pour caractériser les fermés?
  • ibtissam
    ibtissam
    , nous allons montrer que toute suite de A-B qui converge, converge
    vers un élément de A-B
    donc A-B est compact
    donc A-B est fermé
    comme çà???
    merci pour votre aide
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Je ne vois pas pourquoi $A-B$ serait compact, mais sinon la méthode est la bonne.
    Tu prends une suite convergente d'éléments de $A-B$ est tu montre que sa limite est dans $A-B$.
    Admettons que ta suite soit notée $(x_n)$, tu peux alors écrire $x_n=a_n-b_n$ pour tout $n$ et tu retrouves donc avec deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$, une à valeurs dans $A$ et l'autre à valeurs dans $B$.
    Essaie maintenant d'utiliser le fait que $A$ soit compact et que $B$ soit fermé.
  • Maxime T.
    Maxime T.
    La caractérisation séquentielle me semble être le plus simple, en effet.
    Ton utilisation du mot "donc" est un peu douteuse: $A-B$ ne sera pas compact (en général du moins).
    Prend bien le temps de chercher, quand tu seras convaincu de ta preuve, ça ira mieux.
  • ibtissam
    ibtissam
    merci pour vos reponses
    je vais essayer maintenant de completer la solution
    mais ce que je ne comprend pas le faite que A-B n'est pas compact car si on trouve une suite de A-B et qui converge vers A-B cela implique que A-B est compact
    j pense que j ai du mal a bien comprendre la definition de la compacité
    grand merci
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Tu fais, en effet, une confusion.
    On dit que $K$ est compact (disons dans un EVN) si pour toute suite d'éléments de $K$, il existe une sous-suite convergente.
    Dans ton cas, tu prends une suite qui est déjà convergente.
  • christophe c
    christophe c
    Version ANS pour le fun (pour info à ibtissam, c'est juste posé là pour les gens qui passent et ont parfois souhaité voir des exemples, ne t'en occupe pas, vois juste si ça t'inspire un peu)

    Soit un standard $v\in adh(A-B)$. Soit $x-y$ qui est superproche $v$ tel que $x\in A$ et $y\in B$. La compacité de $A$ assure l'existence de $c$ standard tel que $x$ superproche de $c$. Il s'ensuit que $c-y$ est superproche de $v$. Donc $c$ est superproche de $v+y$, donc $y$ est superproche de $c-v$. Il s'ensuit que $c-v\in B$. Donc $v=c-(c-v)\in A-B$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ibtissam
    ibtissam
    vraiment merci
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