Ensembles (non) dénombrables Q et R/Q

Nono36
Nono36
dans Fondements et Logique
Q est dénombrable
R/Q n'est pas dénombrable puisque R n'est pas dénombrable et que l'union de deux ensembles dénombrables est dénombrable.

Or Q et R/Q sont tous deux totalement discontinus et leurs union (R) est continu.
On pourrait penser (intuitivement?) qu'entre chaque rationnel se trouve un irrationnel et vice-versa. Il auraient alors le même cardinal alors que celui de Q est un cardinal aleph-zéro et celui de R/Q est Aleph-un.

Je sais pas si c'est un paradoxe connu ou s'il y a une erreur dans ce que je dis. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer?

Réponses

  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Nono36 a écrit:
    On pourrait penser (intuitivement?) qu'entre chaque rationnel se trouve un irrationnel et vice-versa

    C'est parfaitement vrai, et je ne vois pas en quoi ça prouverait que les deux ensembles ont le même cardinal.
  • Nono36
    Nono36
    Le cardinal est censé représenté le nombre d'éléments et on utilise la notion d'équipotence pour les ensemble infinis. Ils devraient avoir le même nombre d'éléments mais ils ne sont pas équipotents.
    C(Q)=N0
    C(R/Q)=N1=2^N0
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Ils "devraient" ? Il n'est pas clair du tout (et totalement faux) que la propriété "Entre deux éléments de l'un il y a un élément de l'autre" entraîne l'équipotence, que ce soit avec des ensemble finis ou infinis.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Le problème est que le « un » signifie « exactement un » pour toi mais « au moins un » pour nous.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • remarque
    remarque
    De toutes façons, l'argument de vaut rien dans tous les cas : X O X O X, il y a un O entre chaque X et un X entre chaque O et y a pas le même nombre.
  • Nono36
    Nono36
    Philippe Malot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1007047,1007061#msg-1007061
    [Inutile de répéter un message précédent. Un lien suffit. AD]

    Je ne prétends pas le prouver, c'est juste que je cherche à comprendre et à intégrer les notions de cardinalité et de dénombrabilité autrement que par le biais de définitions mathématiques. Après, c'est vrai que l'intuition a des limites : que la somme d'une infinité de réels strictement positifs puisse être un réel fini est très contre-intuitif.

    @Nicolas.Patrois
    Dans la mesure où Q et R/Q sont tous deux totalement discontinus et que R est continu, oui il y en a exactement un. Pour moi c'est de la logique de base mais peut-être que ça marche pas comme ça?

    @remarque
    Comme on raisonne sur des ensembles infinis ta suite xoxoxox n'a pas lieu d'être. Même si on voulait le considérer, que valent deux élément de plus ou de moins dans un ensemble infini ?
    D’ailleurs vu que tu prends un exemple fini (que ce soit à droite ou à gauche) tu ne peux avoir qu'une des deux parties de la proposition entre chaque deux rationnels il y a un irrationnel et vice-versa.

    D'ailleurs, je voudrais utiliser le mot "consécutifs" dans la proposition mais puisque R/Q est indénombrable je ne sais même pas si je peux l'utiliser.

    Bref je veux juste comprendre comment ça marche pour si ce n'est le visualiser, le ressentir intuitivement. C'est pas la peine d'être désagréable comme M. Patrois. Je ne suis ni étudiant en prépa/fac ni mathématicien, je suis juste quelqu'un qui apprécie la beauté des maths.
  • remarque
    remarque
    Tu n'as pas compris : ton argument ne vaut rien dans aucun cas, fini ou infini. Un contre-exemple suffit.
  • Nono36
    Nono36
    Oui tu as raison je viens de voir ça.
    Tu voudrais que je rajoute "Si les ensembles A et B sont infinis"?
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    En fait deux rationnels ou irrationnels donnés ne sont jamais "consécutifs", si on s'en donne deux différents, il y en a toujours d'autres (une infinité de chaque, jamais un seul) entre eux. Ainsi, il est totalement illusoire de vouloir les faire correspondre les uns aux autres par une telle méthode.

    J'espère que ce sera plus clair dans ton esprit.

    Juste une remarque, les irrationnels se notent R\Q ou ${\mathbb R } \setminus {\mathbb Q }$ et non R/Q qui représente le quotient de R par son sous-groupe (ou parfois sous-Q-espace vectoriel) Q.
  • remarque
    remarque
    Oui, tu pourrais faire ça en effet. A ce moment-là, le contre-exemple $\Q$, $\R\setminus \Q$ montre que c'est également faux.

    Maintenant, la visualisation de pourquoi c'est faux est difficile. Pense par exemple aux nombres décimaux. Entre deux nombres décimaux, dont les développements décimaux s'arrêtent donc à un nombre fini de décimales, tu peux mettre autant de réels que $\R$ entier, en complétant les décimales. C'est un peu pareil pour les rationnels. Leurs développements décimaux sont infiniment moins variés que ceux des réels (qui sont en fait assez mystérieux).
  • Nono36
    Nono36
    bosio frédéric écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1007047,1007087#msg-1007087

    Techniquement puisque Q est dénombrable on peut construire une bijection avec N et justement parler de rationnels consécutifs. Ce n'est pas le cas avec R\Q puisqu'il est indénombrable.

    @remarque
    Merci pour tes éclaircissements.
    Il faudra peut-être que je l'accepte simplement comme tel puisque ma capacité d'abstraction semble insuffisante. Le truc c'est que Q est dense dans R, c'est à dire que quelque soit x appartenant à R, il existe un q appartenant à Q qui en est infiniment proche :( .
  • christophe c
    christophe c
    Pour voir où mène ton "intuition", je te rassure (un peu) quand même:

    1) Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonné et $Q\subseteq E$ une partie dense dans $E$. Alors $card(P(Q))\geq card(E)$. Il y a donc juste un petit saut. Pour le voir considérer l'injection $x\in E\mapsto \{r\in Q\mid r\leq x\}$

    2) Soit $(E,T)$ un espace topologique séparé ($T_2$). Soit $A$ une partie de $E$. Alors $card(adh(A)) \leq card(P(P(A)))$

    3) Sans l'hypothèse de séparation, cest fini on ne peut plus rien dire, par exemple si tu munis un ensemble $E\supseteq \N$ de la topologie dont les ouverts sont les parties de complémentaire fini alors $adh(\N)=E$, or cette topologie donne quand-même un peu une certaine forme de séparation

    En gros, à "quelques cardinaux près" l'intuition que toto dense dans bibi fait que bibi n'est pas beaucoup plus gros que toto est bonne, mais ça s'arrête là.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Nono36
    Nono36
    Merci beaucoup Christophe.

    Il semble que pour mieux comprendre tout ça, il faudrait que je me plonge un peu dans la topologie!
  • Chalk
    Chalk
    Bof, si tu veux vraiment une intuition (et uniquement ça), imagine un verre de sirop, t'as plein d'eau et un peu de sirop mélangé. Il y a beaucoup moins de sirop que d'eau, pourtant on imagine bien qu'il n'y aucun volume mésoscopique dans le verre qui ne contient que de l'eau et pas de sirop (si c'est bien mélangé, et je considère un volume non microscopique mais mésoscopique).

    L’analogie vaut ce qu'elle vaut ... Mais tu remplaces verre de sirop par droite réelle, volume mésoscopique par ouvert, sirop par nombres rationnels, eau par nombres irrationnels, et t'obtiens : t'as moins de nombres rationnels que de nombres irrationnels (leurs cardinaux diffèrent), mais quel que soit l'ouvert non vide de la droite réelle, tu as une infinité de nombres rationnels et de nombres irrationnels qui y appartiennent.

    Les nombres réels n'ont rien de réel, c'est dur de se les visualiser. Entre deux nombres rationnels il y a certes un nombre irrationnel, mais ce qu'il faut bien saisir c'est qu'entre deux nombres rationnels il y a surtout une infinité de nombres rationnels et de nombres irrationnels, la droite réelle est un continuum difficile à représenter.
  • pubmeh
    pubmeh
    Nono36 a écrit:
    Techniquement puisque $\mathbb Q$ est dénombrable on peut construire une bijection avec $\mathbb N$ et justement parler de rationnels consécutifs.

    En effet. La suite $(q_n)$ des quotients de termes consécutifs de la suite « diatomique » $(s_n)$ de Stern (A002487) établit une bijection de $\mathbb{N}$ dans l'ensemble $\mathbb{Q_+}$ des rationnels positifs : \[
    \begin{cases}
    s_0=0\\
    s_1=1
    \end{cases},\ \forall k\in\mathbb{N}^\star,\ \begin{cases}
    s_{2k}=s_k\\
    s_{2k+1}=s_k+s_{k+1}
    \end{cases}
    \text{ et }\forall n\in\mathbb{N},\ q_n=\frac{s_n}{s_{n+1}}.
    \] (Le parcours en largeur de l'arbre de Calkin-Wilf énumère ces rationnels sous forme de fractions réduites). Puis la fonction \[
    \begin{split}
    f:\mathbb{Q_+}&\to\mathbb{Q_+}\\
    q&\mapsto\frac{1}{\lfloor q\rfloor+1-\{q\}}
    \end{split}
    \] de Newman, où $\lfloor q\rfloor$ et $\{q\}$ désignent respectivement la partie entière et la partie fractionnaire de $q$, définit une fonction « successeur » sur l'ensemble des rationnels positifs: \[
    \forall n\in\mathbb{N},\ q_{n+1}=f(q_n).
    \]

    Edit : coquille.
  • ccnc
    ccnc
    J'ai lu, je ne sais plus où que IN est définissable dans $(IQ, +, ×)$, ie il existe un adjectif qualificatif défini uniquement à l'aide de $\forall$, implique, + et × qui qualifie exactement les éléments de IN dans IQ.

    J'aimerai bien retrouver cette lecture (ou la définition de IN dans les rationnels)
  • Pascal Ostermann
    Pascal Ostermann
    Il y a surtout ici une confusion entre ensembles disjoints [théorie des ensembles] et (dis)continuité [topologie].

    Pascal Ostermann
  • FrançoisD
    FrançoisD
    Bonjour

    Allez je mets mon grain de sel, non, il n'est pas clair que $\mathrm{Card}(\R)=\aleph_1$ (:P)

    (oui je sais) et cc qui n'a même pas réagi le premier! lol

    Amicalement,

    F.D.
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