définition et dérivabilité d'une fonction

dh8
dh8
dans Analyse
Bonjour,
J'ai l’énoncé suivant.

Soit la fonction $u$ définie par : $u(x)=4-x^2$ si $x \in [0,2]$ et $u(x)=0$ si $x > 2$.
1- Ce que je me demande, c'est : on voit que $u$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ pourquoi dans l’énoncé, il est dit que $u$ est défini sur $\R$ ?
2- Comment voir si $u \in \mathcal{C}^{\infty}(\R)$ ?
Merci pour l'aide.

Réponses

  • h
    h
    Je ne vois pas où dans ton énoncé il est dit qu'elle est définie sur $\R$. Dans ton énoncé tu ne donnes ni l'ensemble de départ ni l'ensemble d'arrivé de ta fonction.
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Salut,
    Ce n'est pas plutot pour $|x| \in [0,2]$ que $u(x)=4-x^2$, et de même $u(x)=0$ pour $|x| >2$?
    Pour savoir si $u$ est $C^\infty$, il faut que tu regardes si pour tout $n$ $u^{(n)}$ est $C^1$. Donc regarde si $u$ est $C^1$, puis si $u'$ l'est...
  • h
    h
    Dans d'autres fils tu poses des questions sur la convolution... Est-ce bien la même personne ?
    Puisque Maxime T. a commencé à répondre je renchéris : il s'agit de montrer que ta fonction est indéfiniment dérivable (c'est simplement la définition).
    Vu qu'ici tu as sur un bout un polynôme de degré $2$ et sur les autres bouts une constante, ça devient vite trivial.
  • zorg692
    zorg692
    Bonjour dh8.

    u est prolongeable par parité pour tout réel négatif. En effet, prenant x réel positif, tu as:

    u(-x)=u(x), et donc tu peux définir u sur la droite réelle tout entière.
    Pour ta deuxième question, il te suffit de revenir aux définitions.
  • zorg692
    zorg692
    erratum: je n'avais pas vu la remarque de Maxime T, et je pense effectivement omme lui qu'il faut définir u sur {|x|>2} et {|x|<2}.
  • dh8
    dh8
    Merci pour la réponse. Dans l'énoncé, il est dit: on définit la fonction paire $u$ sur $\R$, par: ..la définition donnée à mon first post. Ma question est s'il est correcte de laisser la définition comme ca, ou bien il faut préciser et ajouter la valeur absolue à x?
  • h
    h
    N'es-tu pas capable de répondre toi-même à cette question ? As-tu réfléchis ? Si oui où bloques-tu ? etc.
  • dh8
    dh8
    Je dis seulement si cete écriture et correcte ou pas? est-ce que le fait de savoir que $u$ est paire, nous permet de d'écrire ca, ou bien non. C'est ca ma question.
  • h
    h
    Soit $u : \R\to\R$ une fonction paire tel que pour tout $x \in [0,2]$ on ait $u(x)=4-x^2$ et pour tout $x>2$ on ait $u(x)=0$.

    Voilà si j'ai bien reconstitué l'énoncé. Quelle est maintenant ta question ? Quelle est cette histoire de valeurs absolue ? Où veux-tu en mettre ?
  • dh8
    dh8
    Ma question est la suivante: avec cette énoncé, d'un côté on précise que $u$ est définie de $\R$, mais de l'autre côté, dans les deux cas qui définissent $u$, on ne considère que les cas où $x \geq 0$. Est-ce que c'est correcte? ne faut-il pas préciser la valeur de $u$ pour $x < 0$?
  • h
    h
    Sais-tu ce qu'est une fonction paire ?
  • dh8
    dh8
    oui, evidemment.
  • h
    h
    Bon. Si par exemple $g:\R\to\R$ est paire et que $g(3)=1$. Que vaut $g(-3)$ ?
  • dh8
    dh8
    La même chose. Conclusion: l'énoncé est bien écrite, pas besoin d'ajouter la valeur absolue (vu que $u$ est paire, on comprend que c'est pour tout $x \in [0,2]$ et pour $x \in [-2,0]$ c'est pareil?
    $u(x)=4-x^2$ si $x \in [0,2]$ et pareil pour $x \in [-2,0]$ et $u(x)=0$ pour $x > 2$ et pareil pour $x < -2$?
  • h
    h
    Si par exemple dans la définition on avait eu $u(x)=x+2$ pour $x \in [0,2]$ quelle aurait été la valeur de $u(x)$ pour $x \in [-2,0]$ ?
  • dh8
    dh8
    La réponse à la question de H, est: $x+2$. C'est comme je l'ai expliqué avant
  • h
    h
    Non. Comme quoi la question n'était peut-être pas inutile. Par contre il est dommage que personne ne soit passé par là entre temps pour signaler l'erreur !
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