somme et indice

geo
geo
dans Algèbre
Bonjour.
Je n'arrive pas à montrer pourquoi on a :

$\sum_{k=0}^{n} \sum_{j=0}^{k}=\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{n}$

Merci

Réponses

  • h
    h
    C'est faux (une fois qu'on a donné un sens raisonnable à ta question).
  • David Olivier
    David Olivier
    As-tu essayé de le faire par récurrence sur $n$?
  • Archimède
    Archimède
    Il suffit de regarder l'ensemble des $(k,j)$ sur lesquels on somme dans le membre de droite (resp. de gauche). Si ces 2 ensembles coïncident, alors l'égalité est vraie.
  • David Olivier
    David Olivier
    Ah oui en plus c'est faux.

    Je suppose qu'en fait, tu voulais dire quelque chose comme:

    $\sum_{k=0}^{n} \sum_{j=0}^{k}=\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=j}^{n}$

    (Les mêmes termes à gauche et à droite, avec toujours $j \le k$.)
  • geo
    geo
    Oui David j 'ai fait une erreur
  • h
    h
    Je trouve que le plus simple est de se ramener à une somme sur un rectangle (ou un carré ici) en introduisant des indicatrices.
  • geo
    geo
    Mais dans le bouquin il écrit juste l'égalité en disant qu'"il a intervertit les sommes. Je ne trouve pas ça très simple je pense qu'il faut justifier et je medemandais si il y avait une astuce. Merci
  • h
    h
    "il faut justifier" : bien sûr, en math on prouve tout !

    Tu sommes des termes auxquels tu n'as pas donné de nom. Disons qu'ils s'appellent $a_{k,j}$. Je te propose de sommer plutôt les $a_{k,j}b_{k,j}$ où $b_{k,j}$ vaut $1$ si $j \le k$ et $0$ sinon. Cela te permet de te ramener à une somme sur tous les $k,j \le n$ etc.
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Dans le même esprit, j'utilise:
    $$\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^k=\sum_{0 \leq j \leq k \leq n}=\sum_{j=0}^n \sum_{k=j}^n$$
  • geo
    geo
    C 'est bon merci à tous. J'ai fini par comprendre avec un dessin.
  • visiteur
    visiteur
    Bonjour
    Tu peux fixer k et faire une récurrence sur n.
    Il manque un $a_{ij}$ à droite et à gauche a mon avis.

    Cordialement
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