Solution périodique

Bonsoir,

Soit w irrationnel. Montrer qu'il existe l dans ]-1,1[ tel que l'equation différentielle :
x''(t) + (l*w + (l2-1)cos(t)) *x(t)=0
admet une solution non nulle périodique.

Je ne vois pas comment faire, la seule chose qui me vient en tete c'est de faire une longue étude au voisinage de l=1 ou l=-1 et espérer que cela marche ... mais je ne pense pas que ce soit la bonne voie parce que habituellement les exercices qui prennent cette voie sont assez guidé.

Quelqu'un a des idées ?

Réponses

  • Il est tard donc je ne réfléchis pas, mais au pire on peut tout simplement résoudre l'équation.
  • On peut la résoudre explicitement ?
  • C'est une équation linéaire et les coefficients se primitives donc je dirais que oui, on peut expliciter les solutions. Sauf si j'ai vraiment tout oublié ! On a un truc de la forme $X'(t)=a(t)X(t)$ (en dimension 2) donc les solutions doivent être du genre $\exp(A(t))X(0)$ où $A$ est une primitive de $a$.
  • Ouais je dis peut-être n'importe quoi, il faudrait que je révise. Là je me brosse les dents...
  • Oui, je confirme, tu dis n'importe quoi en dimension 2. :-D Bon brossage de dents quand même !
  • Ca ressemble pas mal à une équation de Mathieu, non ?
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_de_Mathieu
  • Ouaip j'ai déliré. Désolé.
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