Sous-groupe finiment engendré dans $\R^n$

Guego
Guego
dans Topologie
Bonjour,

On connaît la topologie des sous-groupes de $\R$. En particulier, si on note $G = a_1\Z + \ldots + a_k \Z$ (avec $a_1,\ldots,a_k$ des réels non nuls, $k>1$), on a :
- $G$ discret si $\dfrac{a_i}{a_1} \in \Q$ pour tout $i$.
- $G$ dense dans $\R$ sinon.

Ma question est : que sait-on dans $\R^2$ (ou $\R^n$) ? Si $v_1,\ldots,v_k$ sont des vecteurs dans $\R^n$ (avec $k>n$ pour que ce soit intéressant), y a-t-il un résultat décrivant la topologie de $G=\Z v_1 + \ldots + \Z v_k$ en fonction des vecteurs $v_1,\ldots,v_k$ ?

En fait, ma motivation était de montrer que $\Z[e^{2i\pi/5}]$ est dense dans $\C$. Mais je me suis dit qu'il y a peut-être un résultat général qui permet de conclure directement.

Réponses

  • GreginGre
    GreginGre
    Salut Guego,

    pour tes calculs, tu peux t'aider du théorème de Kronecker.

    Pour tout sous-groupe $G$ de $\R^n$, on pose $G^*=\{v\in\R^n \mid v^t g\in\Z \mbox{ pour tout }g\in G\}$.

    Alors $(G^*)^*=\overline{G}$ (l'adhérence de $G$).

    En particulier, un sous-groupe est fermé ssi il est égal à son bidual.

    Je crois qu'il n'y a pas de critères généraux permettant de décider si un sous-groupe de $\R^n$ est fermé, discret etc...
    Y a évidemment le théorème de structure des sous-groupes fermés de $\R^n$, mais bon...vu que tu veux démontrer une densité, ça ne va pas t'aider.
  • GreginGre
    GreginGre
    PS: $\Z[\zeta_5]$ est un $\Z[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$-module libre de rang $2$, de base $(1, \zeta_5)$, qui est aussi une $\R$-base de $\C.$

    Comme $\Z[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$ est dense dans $\R$, on en déduit que $\Z[\zeta_5]$ est dense dans $\C.$
  • Guego
    Guego
    Merci. Pas bête le coup du $\Z\big[ \frac{1+\sqrt{5}}{2}\big]$-module !
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Salut,
    Un résultat qui devrait répondre à ta première question:
    Je note $\delta(G)=\inf \{ |z|; z \in G\setminus \{0\} \}$, $rg(G)=\dim Vect G$ et $deg(G)=\max \{\dim E, E \subset G, E \mathbb R-sev de \mathbb C \}$.
    On a l'équivalence: $(\delta(G)>0) \Leftrightarrow (G \text{ fermé et } deg(G)=0)$.
    Et dans le cas $\delta(G)>0$, $G=a\mathbb Z$ ou $G=a\mathbb Z + b \mathbb Z$, avec $(a,b)$ libre suivant la valeur de $rg(G)$.

    Dans ton cas, la première propriété t'assure que $G$ n'est pas fermé et comme $rg(G)=2$, on arrive peut-être à dire quelque chose.

    Bonne soirée
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