Continuité sur $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$

alain_rtx
alain_rtx
dans Analyse
Bonjour,

Soit $\varphi$ définie de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ dans lui-même par: $\varphi (a + b\sqrt{2}) = a - b\sqrt{2}$. $\varphi$ est elle continue ?

Ma solution repose sur les points suivants:
- $E = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel de dimension 2, donc finie.
- $E$ peut être muni d'une norme: $\|.\|: \quad a + b\sqrt{2} \longmapsto \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
- $\varphi$ est une application linéaire de $E$ dans lui même.
- Donc $\varphi$ est continue.

La solution dans mon manuel
- $E = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ est un corps.
- $\varphi$ est un morphisme de corps.
- $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} (1 - \sqrt{2})^n = 0$.
- $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \varphi((1 - \sqrt{2})^n) = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \sqrt{2})^n = +\infty$.
- Donc $\varphi$ est n'est pas continue.

Je comprends la solution du manuel, mais ne trouve pas où est la faute dans la mienne. Voici mes premières reflexions à ce sujet (lesquelles pouvant héla, avoir également leur propres erreurs).

Je me suis demandé si cela pouvait etre lié à des différences de distance: d'un coté la valeur absolue, de l'autre dérivant de la norme euclidienne. Mais dans une evn de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, et donc les distances qui en découlent; cela ne me semble donc pas une piste prometteuse.

Par ailleurs la conjugaison sur $\mathbb{C}$ est une fonction continue, et cette opération sur $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ me semble tres similaire. La seule différence qui me vient à l'esprit est que $\mathbb{Q}$ n'est pas complet, mais je ne vois pas trop ou faire intervenir cela.

Bref, toute aide est bienvenue !

Par avance merci.
Alain

Réponses

  • GreginGre
    GreginGre
    Le fait que tout application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie ne marche que si le corps de base est complet. (Même chose pour le fait que toutes les normes sont équivalentes, fait que tu utilises implicitement je crois)

    Justement, le but de l'exercice est de produire un contre-exemple à ce fait avec un corps de base non complet.
  • h
    h
    @Greg : peux-tu énoncer plus précisément ton théorème (ou au moins l'hypothèse "corps de base complet") ?
  • alain_rtx
    alain_rtx
    Effectivement, les evn que j'ai eu l'occasion d'aborder sont des $\mathbb{K}$-evn avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$. Je vais donc revoir la demonstration de la continuité des applications linéaires en dimension finie, car l'utilisation de la complétude de $\mathbb{K}$ ne m'a pas sauté aux yeux !

    Merci beaucoup pour ces réponses.
    Alain
  • GreginGre
    GreginGre
    @H: Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels topologiques à gauche sur un corps valué non discret $K$ et $u$ une application linéaire de $E$ dans $F.$ Supposons $E$ de dimension finie et $K$ complet. Alors $u$ est continue.

    Mais effectivement, je me suis mal exprimé, mon message suggère que la condition de complétude est nécessaire et suffisante, ce qui n'est peut-être pas le cas (sinon tu n'aurais pas réagi, n'est-ce pas :-D). Désolé, je suis à côté de mes pompes ces jours-ci...


    Sans aller aussi loin, dans le cas de $\R$ ou $\C$, on voit que l'on utilise dans la démonstration l'équivalence des normes, qui elle-même doit utiliser quelque part la complétude, il me semble. Il n'est donc pas déraisonnable de penser (et c'est le but de l'exo) que si le corps de base n'est pas complet, ça risque de foirer.
  • h
    h
    @Greg : merci !

    (En fait ma question était vraiment innocente !)
  • sadfubi
    sadfubi
    Bonsoir,
    On peut montrer aussi que les deux normes suivantes ne sont pas équivalentes.

    $\vert \vert a+b\sqrt 2\vert \vert_1=\vert a \vert +\vert b \vert$ et $\vert \vert a+b\sqrt 2\vert \vert_2== \vert a+b\sqrt 2\vert $
  • jm14d
    jm14d
    salut,


    je pense que $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ n'est pas un corps mais seulement un anneau

    (par exemple, $\sqrt{2}$ ne me semble pas avoir d'inverse)

    et par conséquent la démonstration de ton manuel part mal, non ?

    je suis davantage convaincu par la tienne.
  • h
    h
    C'est pourtant bel et bien un corps. Pour ton exemple, considère l'inverse de $\sqrt{2}$ dans le sur-corps des réels et vérifie qu'il s'écrit sous la forme $a+b\sqrt{2}$.
  • enonce
    enonce
    Pour info, $\mathbb{Q} (\sqrt 2)$ s'appelle un CORPS quadratique. Il fait partie de la famille des CORPS de nombres.
  • Professeur Dodécagone
    Professeur Dodécagone
    $$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2} = 0+ 0.5 \sqrt{2} $$
  • jm14d
    jm14d
    Merci à vous trois et désolé pour l'énorme bourde concernant $1\sqrt{2}$ !
  • Professeur Rectangle
    Professeur Rectangle
    $\mathbb{Q}[\alpha]$ avec $\alpha\in\mathbb{C}$ est un corps si et seulement si $\alpha$ est algébrique.
  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Tu dis que $\mathbb{Q}\sqrt{2}$ peut être muni d'une norme et tu dis que $a+\sqrt{b} \to \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ est une norme, mais je n'en suis pas sûr. La norme de $1+2\sqrt{2}$ serait $\sqrt{5}$ et je ne pense pas que cet élément soit dans $\mathbb{Q}\sqrt{2}$.

    C'est le même genre de problèmes avec le théorème de Riesz : la boule unité d'un ev est compacte si et seulement si l'ev est de dimension finie. Mais on pourrait se dire qu'après-tout, le boule unité de $\mathbb{R}$ vu comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel est la boule unité de $\mathbb{R}$ vu comme $\mathbb{Q}$-espace vectoriel... Or, le deuxième est de dimension infinie. Le problème réside dans le fait que la norme usuelle $| . |$ n'est pas une norme de $\mathbb{Q}$-espace vectoriel (si on définit un tel objet avec les mêmes axiomes que pour $\mathbb{R}$).

    J'espère que je ne dis pas une énorme connerie là...
  • Professeur Rectangle
    Professeur Rectangle
    Pourquoi la norme devrait-elle prendre ses valeurs dans $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ ?
  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Voici ma définition d'une norme :
    Soit $k$ un corps muni d'une valeur absolue et $E$ un $k$-espace vectoriel. Une norme sur $E$ est une application $N : E \to k$ vérifiant les axiomes habituels.

    $\mathbb{Q}\sqrt{2}$ est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel. Ce n'est pas un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Une norme sur le $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $\mathbb{Q}\sqrt{2}$ doit prendre ses valeurs dans $\mathbb{Q}$.

    De toute façon, ce que j'ai dit dans le deuxième paragraphe de mon précédent post (et qui est peut-être faux) s'applique ici : si l'on pouvait doter $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ d'une "norme sur $\mathbb{R}$", la boule unité de cet espace vectoriel (qui est de dimension 2 sur $\mathbb{Q}$) serait compacte pour la topologie de cette "norme" d'après le théorème de Riesz, ce qui est absurde : elle n'est pas complète, elle n'est pas fermée relativement à la topologie de cette "norme".
  • remarque
    remarque
    Et bien, tout cela ne nous rajeunit pas : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,392923,page=1
  • Herbert Quain
    Herbert Quain
    Merci pour le lien. Il y a sept années je ne savais pas ce qu'était un nombre complexe (:P)
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