Dénombrements

Bonsoir à tous,

Je lisais quelques exercices de dénombrements d'apparence assez classique, je voulais vérifier mes "idées".

Cluedo : combien de combinaisons possibles pour le meurtre du Dr Lenoir sachant qu'il y a 6 armes, 6 suspects et 9 pièces ?
A priori : $6 \times 6 \times 9 = 324$

Questionnaire : 20 QCM ayant comme réponses possibles A, B, C et D.
Combien de listes possibles de réponses si l'on répond à chaque question au hasard ? A priori : $4^{20}$
Même question si l'on est sûrs de 8 réponses ? A priori : $4^{16}$

Tiroirs : on dispose de 5 objets que l'on souhaite ranger dans 7 tiroirs, chaque tiroir pouvant contenir un nombre quelconque d'objets. Déterminer le nombre de façons de ranger les objets sachant que l'on ne souhaite pas qu'il y ait le même nombre d'objets dans un même tiroir.
A priori : $\Gamma^5_7 = 462$

Bureau : on souhaite élire le président, le trésorier et le secrétaire dans une association de 40 personnes. Combien de bureaux possibles?
A priori : $C_{40}^3 = 9880$

Je ne suis pas très inspiré par la deuxième...

Merci pour vos pistes !

Réponses

  • Pour la deuxième et la troisième l'énoncé n'est vraiment pas clair. Pour la dernière il ne s'agit pas de choisir 3 personnes parmi 40, il s'agit de choisir un président, puis un trésorier, puis un secrétaire...
  • Justement, même pour la troisième, ce n'est pas si clair...
    En pratique, on ne choisit pas d'abord les 3 personnes du bureau parmi les 40 et ensuite, entre eux, les 3 votent qui fera quoi ?

    Pour les deux autres, j'ai retranscrit tel quel...
  • Peu importe la façon de faire, au final il y a 3 personnes qui ont 3 postes différents. Pour la 3 il faudrait savoir si les objets sont différents ; pour la 2 je suppose qu'ils veulent dire qu'on connaît 8 des réponses, donc il reste 12 questions, je ne comprends pas d'où sort ton $4^{16}$.
  • oui c'est une faute de frappe, je voulais écrire $4^{12}$.

    pour la 3, je suppose que c'est implicite que les objets soient différents.

    pour le bureau, ce serait donc $40 \times 39 \times 38$ ?
  • pour l'histoire des tiroirs, je pense que c'est plutôt $462 - 7$, car il faut retirer les cas où les 5 objets sont dans le même tiroir.

    pour le questionnaire, ça me semble bon.

    pour les bureaux, cela reste flou.

    j'ai réfléchi à un autre : on souhaite composer des nombres à 5 chiffres tous différents à partir des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6.
    - combien de chiffres comprenant 2 et 3 dans l'ordre 23? $4 \times A^3_4$
    - combien de chiffres comprenant 2 et 3 n'importe où ? $C^2_5 \times A^3_4$
    - combien de chiffres comprenant 2 chiffres pairs et 3 chiffres impairs ? $C^3_5 \times A^3_3 \times C^2_3 \times A^2_2$
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