Niveau moins élevé ...Y en a marre.

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Réponses

  • Judoboy, passe par le Cloud : ici. tu crée un compte et ça marche très bien.

    Bruno
  • Il est en effet possible de faire du calcul formel depuis python. sympy déjà cité mais surtout giacpy le permettent (from giacpy import *). giacpy, c'est une interface utilisable dans Python (2 ou 3) écrite par F. Han pour giac, le moteur de calcul formel de Xcas, beaucoup plus puissant que sympy (qui est plus un logiciel de calcul formel jouet de mon point de vue). La clef agreg/ISN de François Boisson propose giacpy en extension depuis peu, la version Mac des modules python est fournie dans la version instable de l'installer Mac de Xcas, et les versions Windows se téléchargent sur le site de F. Han. Pour plus de détails giacpy
    Sage ne permet pas de faire du calcul formel dans un interpréteur python (on ne peut pas faire from sage import *), c'est plutot un logiciel de calcul formel qui utilise un langage très proche du python.
    B. Rivet, je ne pense pas que l'utilisation de calcul formel fasse croire aux taupins que tout a une solution analytique, je pense plutot que ce sont les exercices qu'on leur donne qui ont ce défaut. C'est très bien de leur donner une culture un peu plus numérique, mais je ne vois pas en quoi cela est contradictoire avec leur donner quelques heures d'initiation au calcul formel, d'autant que les logiciels de calcul formel permettent tout autant de faire cette initiation numérique que Scilab ou scipy. Et c'est quand même aussi un outil qui permet de vérifier bien des exercices taupinaux! Sinon, votre exemple est plutot mal choisi, car on peut bien sur résoudre exactement votre équation polynomiale, (au sens manipuler symboliquement les solutions), en utilisant une extension algébrique.
  • M. Parisse pense mon exemple mal choisi. Sans doute n'a-t-il pas pris la peine de lire ce que j'écrivais :
    qu'une formule explicite [est] tout simplement illisible
    Mon exemple :
    $$ x^4-3x^3+x-7=0 $$
    a été choisi parce qu'il a au moins une solution réelle et qu'il se résout par radicaux. Comme je l'ai choisi au hasard, il n'est pas exclu qu'il existe une solution lisible. Néanmoins, j'ai pris la peine de lire la première solution proposée par sympy :
    $$ - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{25}{6 \sqrt[3]{- \frac{31}{8} + \frac{\sqrt{31179}}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{31}{8} + \frac{\sqrt{31179}}{36}} + \frac{9}{4}} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{19}{4 \sqrt{- \frac{25}{6 \sqrt[3]{- \frac{31}{8} + \frac{\sqrt{31179}}{36}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{31}{8} + \frac{\sqrt{31179}}{36}} + \frac{9}{4}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{31}{8} + \frac{\sqrt{31179}}{36}} + \frac{25}{6 \sqrt[3]{- \frac{31}{8} + \frac{\sqrt{31179}}{36}}} + \frac{9}{2}} $$
    Cette formule est elle vraiment lisible et compréhensible ? Peut-on en déduire quoique ce soit d'intéressant sur la solution associée ?

    J'attends avec impatience de lire quelle formule éblouissante est calculée par XCas : je ne doute pas du fait qu'elle renvoie par sa concision sympy au rang de jouet pour enfant;

    Quoiqu'il en soit, il me semble que l'on sait qu'une équation polynomiale de degré $ n\geq 5 $ générique n'est pas résoluble par radicaux : ces jeux formels sont hélas limités à un très petit nombre d'équations. Reste alors, pour les équations génériques, un vrai problème : savoir calculer une valeur approchée des solutions, à une précision fixée près. Dans cette optique, les outils de calcul formel ont un intérêt absolument nul.
  • Oui mais Sage il est cro fort il sait calculer des solutions numériques approchées aussi.
  • Ceci dit, je pense personnellement que le calcul formel est nuisible aux élèves car il les entretient dans l'illusion qu'il existe des formules pour tout calculer, ce qui est grossièrement faux.

    Certes, mais pour le comprendre, il vaut mieux avoir quelques notions de calculabilité, ce qui n'est pas enseigné à ce niveau.
  • @Professeur Rectangle:
    L'argument diagonal est à la portée de tout le monde.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • B. Rivet: il existe fort heureusement d'autres manière de manipuler symboliquement des racines d'équations de degré 4 que les formules de Ferrari et qui fonctionnent en degré >4. L'expression renvoyée par sympy n'est en effet d'aucune utilité car ensuite il est très couteux de simplifier quoi que ce soit avec et les systèmes de calcul formel plus avancés que sympy ne les utilisent pas (au moins par défaut). Dans Giac/Xcas, vous pouvez utiliser rootof qui permet de calculer algébriquement n'importe quelle fraction rationnelle d'une des racines de l'équation (dans l'extension algébrique Q[x]/polynome), ou par évaluation numérique de spécialiser à l'une des racines.
    Pour travailler avec toutes les racines, on peut chercher une extension les contenant toutes, ce qui est faisable en degré 4 (en degré 5 ça devient couteux), extension que l'on peut calculer par exemple en utilisant la représentation rationnelle univariée:
    P:=x**4-3*x**3+x-7;
    eq:=pcoef([a,b,c,d])-symb2poly(P); // on va résoudre le système racines/coefficients
    G:=gbasis(eq,[a,b,c,d],rur);
    Q:=factor(P,rootof(G[2]));
    normal(Q);
    Les racines sont données par la représentation rationnelle:
    R:=seq(rootof(G[k],G[2])/rootof(G[3],G[2]),k,4,7)
    on peut faire evalf(R) et comparer avec proot(P)

    C'est pour cette raison que je trouve l'exemple mal choisi, un calcul numérique d'intégrale aurait mieux fait l'affaire. Mais rien n'empêche de faire ce type de calcul numérique approché avec un logiciel de calcul formel.
  • Dis-donc Judoboy, as-tu essayé le lien que je t'ai donné ?

    Bruno
  • Oui m'sieur, à vrai dire j'utilisais déjà le cloud de ma fac qui est en France (donc plus rapide j'imagine). Mais j'aurais aimé avoir une version autonome sur mon PC.
  • @Judoboy

    La machine virtuelle SAGE peut être utilisée via ton navigateur web. Ainsi, tu n'auras pas à changer le clavier ou à règler quoi que ce soit. Il n'y a pas besoin de paramétrer quoique ce soit, il suffit de lancer la machine virtuelle et d'aller à l'adresse indiquée sur leur site : http://localhost:8000
  • Foys écrivait: a écrit:
    @Professeur Rectangle:
    L'argument diagonal est à la portée de tout le monde.

    Je crois que non.
    C'est un raisonnement par l'absurde déjà, et tout le monde ne comprend pas le raisonnement par l'absurde (j'ai donné quelques exemples plus haut, notamment un célèbre avocat).
  • PR:
    Dans la vie courante, contrairement au maths où l'homme fixe les règles du jeu explicitement, dès le début (quand je parlais de contrôle "absolu" il s'agissait de ça), l'implication "$\neg A \implies B$" peut être très délicate à établir voire franchement pipeau (ex: si le sujet porte un niqab il ne verra pas la route; preuve? - variante: s'il/elle porte un niqab, il ne verra pas suffisament la route. J'aimerais voir la traduction de "suffisament" dans un langage formalisé).
    Rappelons tout de même que la preuve de $A$ via l'étape intermédiaire $\neg A \implies B$ requiert a minima:
    -la preuve que $A$ et $B$ sont des énoncés
    -que $\neg A \implies B$ admet une démonstration formelle (rien de moins. Il est implicite qu'on est en logique classique).

    La réalité n'est pas un cadre axiomatique car l'humanité la découvre au lieu de décider ce qui sera vrai de façon infaillible, prérequis indispensable pour appliquer la logique comme vous le faites. Par exemple dans l'argument diagonal on parle de ce qui se passerait si une certaine machine était construite (par l'humanité elle-même. Si toutes les machines de Turing s'arrêtent, il se produira ceci-cela mais comme on sait exactement ce qu'est une machine de Turing le raisonnement marche), cette machine faisant exactement ce qu'on veut. Le conducteur de voiture recouvert d'un certain type d'habit ne fait pas ce que vous voulez: vous ne savez pas la forme de l'habit. Vous ne savez pas à quelle vitesse il roule (il est à mon humble avis moins dangereux à 30 km/h que quelqu'un en caleçon qui roule à 220 km/h). Vous ne savez pas où il roule (ville? route déserte?). Etc. Un texte de loi qui traiterait cette situation particulière et aurait une forme exploitable pour la logique classique ferait plusieurs milliers de pages.

    Je ne crois pas à l'idée -très prétentieuse à mon avis -répandue selon laquelle les gens ne savent pas raisonner et doivent être éduqués en ce sens par des mathématiciens. Quand vous jouez à un jeu de société avec des gens (matheux ou non), une fois qu'ils ont appris la règle du jeu, ils sont capables de jouer, autrement dit de déduire les conséquences de ces règles sans se tromper (sauf problématique stratégique avancée bien sûr) et il n'y a jamais de faute logique. Même s'ils n'ont pas eu de cours de logique ronflant.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Anachronisme.

    La méthode axiomatique date du XXème siècle.
    La raisonnement par l'absurde est mentionné par Aristote (IVe siècle avant JC).
  • Les principes logiques ont été découverts dans un cadre concret. Aristote donne des exemples de la vie de tous les jours. Le raisonnement par l'absurde est régulièrement utilisés dans les cas pratiques suivants :
    • Chercher les contradiction dans un discours (la police le fait régulièrement lorsqu'elle interroge un suspect, les électeurs sont censés le faire de temps en temps quand ils écoutent les candidats, la femme qui doute de la fidélité de son mari procède de même, etc).
    • Chercher à déterminer l'intention de quelqu'un d'autre (il veut cela car sinon il se serait comporté différemment).
    Le raisonnement par l'absurde, comme toutes les règles logiques, a été découvert bien avant l'axiomatique, et peut être utilisé dans un cadre non-formel, comme toutes les autres formes de raisonnement. Dire qu'on ne peut pas utiliser de règles de raisonnement en dehors d'un cadre formel, c'est dire qu'il est impossible de faire le moindre raisonnement en dehors du monde formel, ce qui est clairement absurde.

    Il me semble illusoire de croire que quelqu'un qui ne peux pas comprendre un raisonnement par l'absurde dans un cas simple et concret puisse en comprendre un dans un cadre abstrait ou compliqué.
  • La géométrie grecque (axiomatique) date de cette époque.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • En fait votre opinion a dû pas mal évoluer depuis ce post: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,985197,985265#msg-985265
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys écrivait: a écrit:
    En fait votre opinion a dû pas mal évoluer depuis ce post:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,985197,985265#msg-985265
    ???

    Dans les deux sujets je dis que la preuve juridique est moins exigeante que la preuve mathématique. Le juge a besoin d'une certitude moins grande que le mathématicien.

    Ne trouveriez-vous pas absurde qu'un juge rejette quelque chose d'absolument certain (la logique) tout en acceptant des choses presque certaines (les croyances de son époque) ?
  • > Ne trouveriez-vous pas absurde qu'un juge rejette
    > quelque chose d'absolument certain (la logique)
    > tout en acceptant des choses presque certaines
    > (les croyances de son époque) ?


    C'est un fait avéré que un juge et un mathématicien ne travaillent pas sur les même bases. Un juge fait appel à son libre arbitre, pas le mathématicien (si seulement il pouvait).
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