Recouvrir Q par un "petit" ensemble.

Professeur Rectangle
Professeur Rectangle
dans Analyse
Bonjour

Je considère une suite de réels $(r_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et l'ensemble $E_n=\bigcup_{k=0}^{\infty}[r_k-2^{-n-k};r_k+2^{-n-k}]$.
Je me demande ce que contient $A=\bigcap_{n=0}^{\infty}E_n$.
En particulier, je me demande s'il est possible de choisir la suite $r$ de sorte à ce que $\text{im}(r)=\mathbb{Q}=A$.


Je remarque que :
  • on peut construire des $r$ qui ne marchent pas, par exemple, en choisissant pour $r_{2n}$ un rationnel de l'intervalle $]\sqrt{2}-2^{-2n};\sqrt{2}+2^{-2n}[$ et en utilisant les termes impairs de $r$ pour parcourir tous les rationnels.
  • $A$ est de mesure nulle (mais que dire de son cardinal ?).


Edit : J'avais oublié un $k$ et du coup on avait $E_n=\mathbb{R}$ ce qui enlevait tout intérêt à la question.

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    Je dois avoir la tête ailleurs. Si $\mathrm{im}(r) = \mathbb{Q}$, alors pour tout $n$, $E_n = \mathbb{R}$ par densité de $\mathbb{Q}$, et donc $A= \mathbb{R}$. Non ?
  • h
    h
    Je ne sais pas où Siméon a la tête mais je l'ai au même endroit !

    @PR : tu n'as sans doute pas écrit ce que tu voulais écrire.
  • Siméon
    Siméon
    @H : tu me rassures.

    Voici un autre argument qui se généralisera sans doute à ce que voulait écrire le Prof Rectangle : avec le théorème de Baire on montre $\mathbb{Q}$ ne peut pas s'écrire comme intersection dénombrable d'ouverts denses puisque $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ est déjà intersection dénombrable d'ouverts denses.
  • Foys
    Foys
    NB: de façon générale soit $(\alpha_{p,q})_{p,q \in \N^2} \in \R_+ ^{* \N^2}$,et $(x_{p,q})_{p,q \in \N^2} \in \R^{N^2}$ telle que $\forall p \in \N$, $\{x_{p,q}| q \in \N\}$ est dense dans $\R$. Alors $E_n=\bigcup_{k \in \N} [x_{n,k}-\alpha_{n,k}, x_{n,k}+\alpha_{n,k}]$ contient un ouvert dense.
    Via Baire, $\bigcap_{n \in \N}$ ne peut donc pas contenir $\Q$.
    Via Baire, $\bigcap_{n \in \N} E_n$ ne peut donc pas être contenu dans $\Q$.

    ESIT: grillé par Siméon !

    [Corrigé selon ton indication 5 messages plus bas. AD]
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Siméon
    Siméon
    Foys a écrit:
    ESIT: grillé par Siméon!
    Il n'y a pas à ESITER, c'est un fait !
  • Foys
    Foys
    LOL!!
    J'ai tendance à éditer presque tous mes messages mais celui-là je vais le laisser pour la peine :)o
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Professeur Rectangle
    Professeur Rectangle
    Merci pour vos remarques : j'ai effectivement oublié un $k$ dans la formule de $E_n$. C'est corrigé.
  • h
    h
    Au cas où ce ne serait pas clair pour tout le monde, je rappelle que Siméon et Foys ont montré que le théorème de Baire donnait une solution (négative) au problème.
  • Foys
    Foys
    Foys a écrit:
    $E_n=\bigcup_{k \in \N} [x_{n,k}-\alpha_{n,k}, x_{n,k}+\alpha_{n,k}]$ contient un ouvert dense. Via Baire, $\bigcap_{n \in \N}$ ne peut donc pas contenir $\Q$.
    Je vais essayer quand même de l'écrire correctement: via Baire, $\bigcap_{n \in \N} E_n$ ne peut donc pas être contenu dans $\Q$.
    [small]vite un alka seltzer et au dodo[/small]
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Professeur Rectangle
    Professeur Rectangle
    Merci encore à Foys et Siméon pour leurs réponses. En relisant, je me rends compte qu'un point m'a échappé.

    Pourquoi $\mathbb{Q}$ ne pourrait pas être intersection dénombrable d'ouverts denses ? Le théorème de Baire impose qu'une telle intersection soit dense, mais $\mathbb{Q}$ est dense donc ce n'est pas un problème.
    De même, je ne saisis pas bien l'argument comme quoi $\mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q}$ est intersection dénombrable d'ouverts denses intervient.
    Le complémentaire d'une intersection dénombrable d'ouverts denses ne peut pas être lui-aussi une intersection dénombrable d'ouverts denses ?
  • remarque
    remarque
    Si $\Q$ est une intersection dénombrable d'ouverts denses, alors $\R\setminus \Q$ est une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide. Donc $\R=(\R\setminus\Q)\cup\Q$ également.
  • Professeur Dodécagone
    Professeur Dodécagone
    Merci,

    Si je comprends bien, on utilise le fait que $\mathbb{Q}$ est dénombrable donc est union dénombrable de fermés d'intérieur vide.
    En fait, ça démontre mieux : Toute intersection dénombrable d'ouverts dense de $\mathbb{R}$ est indénombrable.
  • ev
    ev
    @ Foys : Qu'est-ce que ça fait de se faire griller par un poisson ?

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


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