Valeur d'une série

Saladin

Bonjour

Je voudrais connaître la somme de la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac 1{n^2-2kn+m}$$
où $k$ et $m$ sont des nombres entiers naturels tels que $k^2<m$.
C'est hors programme pour moi.
Merci.

gerard0

Bonjour.

Tu ne précises pas ce qui varie de 0 à l'infini. Si c'est k ou m, la série diverge.

Cordialement.

Saladin

C'est n la variable ; k et m sont fixés .


Merci

Archimède

On parle de la somme d'une série (et non de sa valeur).

nicolas.patrois

Que veut dire le fait que le dénominateur est non nul ? Que s’il est nul, on passe au suivant ou on choisit k et m pour que quel que soit n, le dénominateur est nul ?

Saladin

Quelle la somme ?

gerard0

Saladin a écrit:

Quelle la somme ?

Peux-tu faire une phrase compréhensible ? Merci.

Saladin

Comment calculer la somme de cette série ?

Merci

Philippe Malot

Bonsoir,

La question n'est toujours pas claire (cf message de Nicolas Patrois ci-dessus).

Saladin

@N.Patrois


On fixe k et m tel que le dénominateur soit non nul pour tout n entier naturel .


Merci

Philippe Malot

Bon allez, je modifie le message original...

FDP-43V3R

Si n=m=k=0 alors le dénominateur de

$\frac 1{n^2-2kn+m}$ est nul.

Saladin

Merci Phillipe Malot

P

Si $r^2=m-k^2>0$, tu veux $\displaystyle S_k=\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{n^2+r^2}.$ Posant pour $t>0$
$$f_k(t)=\frac{1}{2ir}\sum_{n=k}^{\infty}\left(\frac{e^{-t(n-ir)}}{n-ir}-\frac{e^{-t(n+ir)}}{n+ir}\right)$$ on trouve $\displaystyle f'_1(t)=\frac{\sin rt}{r(e^t-1)}$ et $\displaystyle f_1(x)=\int_x^{\infty}\frac{\sin rt}{r(e^t-1)}dt$. Et $f_1(0)=S_1$ est peut-être calculable.

Saladin

Je n'ai pas compris

Saladin

Aucun ange ?

GreginGre

Il me semble vaguement me souvenir que la série $\displaystyle\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2+\alpha^2}$ est calculable à l'aide d'un développement en série de Fourier de $e^{\alpha x}$ sur $[-\pi,\pi[,$ ou un truc du genre, non ?

zephir

Oui, Greg, mais cela permet de calculer la somme de $k$ à $+\infty$. Il restera la somme de $1$ à $k$ qui n'a pas d'expression simple connue (du moins à ma connaissance).

soland

Bonjour.
Je ne sais pas si ça peut aider :

JLT

@Greg : on en a parlé ici (entre autres) :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,987043,987063#msg-987063

AP3

Cela vient de
$\sum_{n\geq 0} 1/(n^2+\alpha^2)=(\pi/(2\alpha))coth(\pi\alpha)+1/(2\alpha^2)$
pour $\alpha$ non nul
qui s'obtient par le développement en série de Fourier
de la fonction $ch(\alpha x)$ sur $]-\pi;\pi]$ et période $2\pi$
Bien sûr par un passage à la limite on vérifie la cohérence avec
$\zeta(2)=\pi^2/6$

P

Saladin: en posant $n'=n-k$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n-k)^2+r^2}=\sum_{n'=1}^{\infty}\frac{1}{n'^2+r^2}+R_k$$ avec $R_k=\sum_{n'=0}^{k}\frac{1}{n'^2+r^2}.$ Pour $R_k$ on ne peut pas faire grand chose, sauf à le calculer pour les petites valeurs de $k.$. Pour la somme de la série grâce à GreginGre on écrit ceci :




Soit $r>0.$ Comme $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{rx+inx}dx=\frac{1}{2\pi}\frac{e^{2\pi r}-1}{r+in}$ alors comme les conditions de Dirichlet sont réunies pour cette série de Fourier on a
\begin{eqnarray*}\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-N}^N\frac{e^{2\pi r}-1}{r+in}e^{-inx}&=& e^{rx}\ \ \text{si}\ 0<x<2\pi\\
&=&\frac{1}{2}(e^{2\pi r}+1)\ \ \text{si}\ x=0\end{eqnarray*}
Donc en exploitant ce cas $x=0$
$$\frac{1}{r}+2r\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2+r^2}=\sum_{n=-N}^N\frac{1}{r+in}\rightarrow_{N\rightarrow \infty}\pi\text{coth}(\pi r)$$ et donc $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+r^2}=\frac{\pi}{2r}\text{coth}(\pi r)-\frac{1}{2r^2}.$$


(Ce message s'est croisé avec celui d'AP)

Saladin

Merci beaucoup pour votre aide, merci P