Idéal radical

Bonjour, je cherche un exemple d'idéal $I$ tel que quelque soit $n$ dans $\mathbb{N}$ on n'ait pas $ \sqrt{I}^{n} \subset I$. J'imagine qu'il faut prendre un anneau non noethérien mais je ne trouve pas d'exemple...

Réponses

  • Au débotté , sans garantie aucune que ça marche :$A=\C[X_1,\ldots,X_n,\ldots]$ et $I=(X_1,X_2^2,\ldots,X_n^n,\ldots)$.

    Je n'ai pas vérifié si ça fonctionnait...
  • Ca m'a l'air de bien marcher, merci !
  • Intuitivement, pourquoi ça marche :

    on a envie de dire que $\sqrt{I}=(X_1,\ldots,X_n,...)$. En particulier, $X_{m+1}^m\in\sqrt{I}^m$ et il est raisonnable de penser que $X_{m+1}^m\notin I.$

    Tout ça est à démontrer proprement, si c'est vrai. Si tu as le courage de le faire et de poster tes calculs ici... ;-)

    [Edit: en fait, on a juste besoin de l'inclusion facile $\sqrt{I}\supset(X_1,\ldots,X_n,...)$. ]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.