Notation idéaux

Bonjour, j'ai un exo à faire mais il y a une notation que je ne comprends pas ; comme j'ai le code latex je vous poste l'exo. Je ne veux pas les réponses, simplement savoir ce que signifie la notation $R_{\mathfrak{M}_i}$.

Soient $I$ un idéal de $R$ tel que $$ \sqrt{I}=\bigcap_{1\leq i \leq N}\mathfrak{M}_i,\ \mathfrak{M}_i \ \hbox{maximal de}\ R,\ \mathfrak{M}_i \not= \mathfrak{M}_j\ \mathrm{si}\ i\not=j, \ 1\leq i,j \leq N, .$$ On note $\displaystyle J_i:=\bigcap_{j\not=i}\mathfrak{M}_j $. Montrer que $\quad\mathfrak{M}_i+J_i=R,\ 1\leq i \leq N.
$
On suppose de plus que $\displaystyle \bigcap_{1\leq i \leq N}\mathfrak{M}_i$ est minimale, c'est-à-dire que $$ \bigcap_{1\leq i\not=j \leq N}\mathfrak{M}_i\not=\bigcap_{1\leq i \leq N}\mathfrak{M}_i,\ 1\leq j \leq N.$$
Le but du problème est de montrer qu'il existe un isomorphisme naturel (d'après Fulton, page 55, proposition~6) : $$\Phi\ : \ {R \over I} \longrightarrow \bigoplus_{1\leq i \leq N} {R_{\mathfrak{M}_i} \over I R_{\mathfrak{M}_i}}.
$$ Soit l'application $\displaystyle \Psi: R \longrightarrow \bigoplus_{1\leq i \leq N} {R_{\mathfrak{M}_i} \over I R_{\mathfrak{M}_i}}$ définie par $\displaystyle \Psi(f)=\bigoplus_{1\leq i \leq N} \phi_i(f)$, $f\in R$, $\phi_i$ est la composition:
$R \longrightarrow R_{\mathfrak{M}_i} \longrightarrow \dfrac{R_{\mathfrak{M}_i}} { I R_{\mathfrak{M}_i}}$, $1\leq i \leq N $. Remarquer que $I \subset\ker(\Psi)$. En déduire $\Phi$.

Réponses

  • C'et la localisation de l'anneau $R$ en l'idéal maximal $\mathfrak{M}_i.$
  • Waow quelle promptitude, merci !
  • Ah oui et du coup, le $I R_{\mathfrak{M}_i}$ c'est l'image de $I$ dans le localisé c'est ça ?
  • Plutôt l'idéal engendré par l'image de $I$. C'est aussi l'ensemble des éléments de la forme $\frac{x}{s},$ $x\in I$ et $s\notin \mathfrak{M}_i.$
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