dual d'un cône convexe

P

Soit $C$ l'ensemble des $(a,b)=(a_1,a_2,a_3,b)$ réels tels que $$K(a,b)=\left[\begin{array}{ccc}a_1&b&b\\b&a_2&b\\b&b&a_3\end{array}\right]$$ soit définie positive. Je patauge pour trouver le dual $C^*$ de ce cône convexe $$C^*=\{(a',b'); \text{trace}(K(a,b)K(a',b'))>0\ \forall (a,b)\in C\}=\{(a',b'); a_1a'_1+a_2a'_2+a_3a'_3+6bb'>0\ \forall (a_1,a_2,a_3,b)\in C\}.$$ L'avis d'experts me serait bien utile.

bosio frederic0

J'essaierais déjà de déterminer le sommet de ce cône.

bosio frederic0

Au temps pour moi, je n'avais pas vu que $b$ n'était pas fixé.

bosio frederic0

A priori, en écrivant que le produit scalaire est strictement positif en tout point non nul, tu écris ton cône comme intersection d'hyperplans. Il doit être possible de retrouver son dual à partir des équations de ces hyperplans.

JLT

Le problème ne m'a pas l'air simple.

L'analogue en dimension 2 est facile : $C$ est l'ensemble des matrices symétriques définies positives, et $C^*$ est l'ensemble des matrices symétriques positives non nulles. En effet, une matrice symétrique $B$ appartient à $C^*$ si et seulement si pour toute matrice $A$ définie positive on a $\mathrm{Tr}(AB)>0$. Par continuité, pour toute matrice positive $A$ on a $\mathrm{Tr}(AB)\geqslant 0$. En prenant pour $A$ un projecteur spectral de $B$, on voit que $B$ est positive. Elle est évidemment non nulle. Reciproquement, si $B$ est positive non nulle, alors pour toute $A$ définie positive on a $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(A^{1/2}BA^{1/2})>0$ car $A^{1/2}BA^{1/2}$ est positive non nulle.

Pour le problème de $P$, je ne vois pas. Il est clair que $C^*$ contient l'ensemble des matrices positives non nulles, mais il y en a peut-être d'autres.