Calcul de série

Bonjour
Je ne sais pas comment étudier et calculer la série :
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac 1{1+\left(\frac na\right)^2}$ ; $a$ réel non nul ?
Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement.

Réponses

  • Bonjour.

    Tu peux déjà étudier sa convergence. Quant à connaître la valeur de la somme, je doute qu'on te le demande.

    Quel est ton énoncé exact ?

    Cordialement.
  • Re


    Etudier et calculer la série .


    Merci
  • Le calcul de la série est difficile. Etudie déjà sa convergence en utilisant les critères usuels.34231
  • Bonsoir,

    À la suite de quel cours ou dans quel livre as-tu trouvé cet exercice ?
    La somme n'est effectivement pas simple à trouver si l'on part de rien.
  • Re

    Le terme de la série est équivalent à 1/n2, série convergente mais pour la calcul aucune idée


    Merci
  • Rie


    Je suis en deuxième année,c'est un étudiant de troisième année qui m'a posé le problème.


    Merci

  • Voir la formule donnée par JLT.
  • Il existe plusieurs façons de calculer cette somme.
    J'en connais une qui utilise les séries de Fourier mais qui est sortie du chapeau, j'en connais une autre qui utilise le théorème des résidus (et qui peut s'appliquer à d'autres séries).
  • Il y a une méthode avec des sériés de Fourier. Est-ce que tu as appris ?
  • Non pas encore.
  • Je pense avoir une méthode (sortie du chapeau aussi..) en utilisant ce résultat :

    $$\frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right).$$
    Est-ce que tu connais cette dernière ?
  • King:
    Elle me trottait dans la tête cette méthode sans que je ne parvienne à la saisir. B-)-
  • Bonjour,

    pour le calcul via série de Fourier, il faut partir comment ?

    Je vous remercie par avance.

    Cordialement,
    Mister Da
  • Développe en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique qui vaut $x\mapsto e^{ax}$ sur $[0,2\pi\![$.
  • Merci,

    j'ai bien fait de demander car je n'étais pas du tout parti dans cette direction. Néanmoins, je n'avance pas des masses. A-t-on $c_n = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{2\pi a-1}}{a-\jmath n}$ ?

    Pour faire apparaitre du $a^2+n^2$ au dénominateur j'ai fait un petit coup de Parseval mais je tourne en rond.

    Cordialement,
    Mister Da
  • Oups, c'est bon, j'avais oublié d'élever un terme au carré dans l'égalité de Parseval. Je tombe sur le résultat voulu.

    Désolé pour la gène.

    Cordialement,
    Mister Da
  • Salut Mister Da,

    On a aussi :

    $$\frac 1{a-in}+\frac 1{a+in}=\frac{2a}{a^2+n^2}$$
  • En ce qui me concerne, je n'utilise pas Parseval mais Dirichlet, qui donne
    $$\frac{1+e^{2\pi a}}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n$$
    où $\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} e^{ax}\cos nx\,dx=\frac{1}{\pi}\mbox{Re}\,\int_0^{2\pi}e^{(a+in)x}\,dx=\frac{a(e^{2\pi a}-1)}{\pi (a^2+n^2)}$.
  • Ah oui effectivement merci a vous deux ! Une fois de plus j'ai sorti le canon de 12 pour écraser un moucheron.

    @JLT : quand tu dis Dirichlet, tu parles des séries de Dirichlet ? (En fait je ne connais que le théorème de Dirichlet pour la convergence simple pour le cas des fonctions discontinues).


    J'en profite pour poser une nouvelle question. Au niveau de la rédaction, pour justifier la convergence en utilisant les comparaisons asymptotiques.

    On peut dire, comme l'a écrit Saladin, que $c_n \sim \frac{1}{n^2}$ (équivalent) en l'infini (c-à-d que $c_n - \frac{1}{n^2} \in o\left(\frac{1}{n^2}\right)$).

    Aurait-il été tout aussi propre de dire que les $c_n\in O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ (c-à-d. dominé par $\frac{1}{n^2}$).

    En revanche remarquer que $c_n\in o\left(\frac{1}{n}\right)$ (c-à-d. négligeable devant $\frac{1}{n}$) n'aurait pas permis de conclure ?

    Je vous remercie par avance de vos lumières.

    Cordialement,
    Mister Da
  • Quand je dis Dirichlet, c'est le fait que si $f$ est une fonction $C^1$ par morceaux (non nécessairement continue) et $2\pi$-périodique, alors la somme de sa série de Fourier est égale à $\dfrac{f(x,+)+f(x,-)}{2}$.
  • Ah oui c'était pourtant donc bien le théorème que je connaissais (la convergence simple vers la fonction régularisée) je n'avais pas vu le lien... Je tourne au ralenti, désolé.

    C'est élégant, merci beaucoup.

    Cordialement,
    Mister Da
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