endomorphisme diagonalisable

Bonjour à tous
Un petit problème que je n'arrive pas à résoudre en totalité:
E est un Kev de dim n et p est un projecteur.
On considère F:L(E) ---> L(E) définie par F(f) = p[size=small][small]o[/small][/size]f + f[size=small][small]o[/small][/size]p
Montrer que F est diagonalisable et déterminer le spectre de F et la dimension des SEP en fonction du rang de p.

J'ai montré que F annule le polynôme X3-3X² + 2 X qui est scindé simple donc F est diagonalisable et son spectre est inclus dans { 0,1,2}.Maintenant je ne vois pas comment procéder pour trouver la dimension des SEP...???

Réponses

  • Pourquoi ne pas prendre une base e telle que $Mat(p;e)$ soit de la forme $P=\begin{pmatrix}I_r & 0 \cr 0 & 0\end{pmatrix}$, et faire un bête calcul matriciel pour trouver les matrices $M$ telles que $MP+PM=\lambda M$ pour $\lambda=0,1,2$ ?

    Après une fois que tu auras trouvé la réponse, tu pourras peut-être trouver des arguments plus conceptuels ?
  • Ok merci çà passe tout seul comme çà.J'ai trouvé dim(E(0))= (n - r)² , dim(E(1)) =2r(n-r) et dim(E(2))=r²
    donc si r=n, 2 est la seule vp , si r=0 ,0 est la seule valeur propre (on s'en doutait un peu) et sinon 0,1 et 2 sont valeurs propres.Quant à trouver des arguments plus conceptuels, je ne vois pas lesquels.
  • Peut être en utilisant le système de quatre projecteurs $f\mapsto p\circ f\circ p$, $f\mapsto p\circ f\circ (\mathrm{Id}-p)$, $f\mapsto (\mathrm{Id}-p)\circ f\circ p $, $f\mapsto (\mathrm{Id}-p)\circ f\circ (\mathrm{Id}-p) $ ?
  • En fait le cas r= n est aussi trivial que r=o et pour le reste il suffit de se laisser guider par le calcul matriciel et c'est facile à comprendre.
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