matrice stochastique

Bonjour à tous, je cherche la solution d'un exercice dans lequel, on me demande de prouver que si une valeur propre d'une matrice A stochastique en ligne a pour module 1 alors cette v.p. est 1.
La correction me propose une solution assez longue , passant par l'écriture complexe de cette valeur propre du coup je doute de ma solution mais je ne vois pas d'erreur.Je vous la mets en doc joint car LATEX et moi çà fait 2.Merci de m'indiquer si quelque chose cloche.34111

Réponses

  • Je n'ai pas trop regardé mais il me semblait (je me trompe peut-être) qu'une matrice de permutation était une matrice stochastique et une telle matrice a des valeurs propres de module 1 autre que 1. Par exemple~:
    $$\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$
    a -1 pour valeur propre.

    Si je me trompe, peux-tu rappeler la définition d'une matrice stochastique ?
  • Cela a l'air très correct. Il ne reste plus qu'à rédiger proprement.
    J'ai compris "stochastique ligne" comme étant une matrice à termes positifs et telle que la somme des termes d'une ligne vaut $1$ (pour toutes les lignes).
  • Zéphyr,

    la matrice de Frédéric me semble bien "stochastique en ligne".

    Cordialement.
  • Effectivement Gerard, j'ai mal lu la démonstration. $\lambda$ peut valoir $1$ ou $-1$.
    La faute est précisèment dans l'impasse, je cite " $|x_k|=|x_{i_0}|$, puis $x_k=x_{i_0}$ (à rédiger mais facile)", ce qui est inexact.
  • did63 a dû oublier l'hypothèse de régularité de la matrice stochastique.
  • "GaBuZoMeu" : De quelle hypothèse de "régularité" parles-tu ?
  • La définition habituelle pour les matrice stochastiques : une matrice stochastique est dite régulière quand une de ses puissances a tous ses coeffcients $>0$.
  • D'accord. Je ne savais que cela s'appelle "régularité". Je me souviens de l'appellation "irréductible" mais ma mémoire n'est pas d'une fiabilité suffisante.

    Edit : après recherche sur le WEB, ça s'appelle bien "irréductible".
  • Non, tu as mal cherché : irréductible, c'est autre chose (la matrice de permutation donnée en exemple est irréductible, et pas régulière).
  • Autant pour moi. Dans le document sous_ce_lien on appelle ça "ergodique". Il y a aussi une définition de "irréductible" que j'ai lu de travers, mais de "régulière" point, sauf mauvaise lecture itérée.
  • Effectivement mon erreur vient de mon "impasse".Il faut supposer que les termes diagonaux sont non nuls et aprés çà passe, 1 est la seul valeur propre de module 1
  • Ceci dit je ne vois toujours pas où çà cloche dans ma démo qui est forcément fausse à la vue des contre-exemples,mais si somme(ai0kIxkI/IxioI)=somme(aiok) avec en plus I somme (aiokxj)I = somme (aiok IxjI alors on a bien égalité de tous les xi non?
  • Ca cloche dans ton (à rédiger mais facile) qui est faux. Pour la matrice donnée, un vecteur propre pour la valeur $-1$ est $(1,-1)$. Toutes ses coordonnées ont même module mais ne sont pas égales.
  • J'ai trouvé l 'erreur, tous les xk ont le même module que xio et ont tous le même argument mais pas forcément celui de xio car io n'est pas forcément un élement de mon ensemble I .Ca a failli me rendre dingue ce truc......Ouf
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