Identité, égalité

Bonjour à tous,

si a = 3 et b = 5, alors a / b = 3 / 5.
Maintenant si a / b = 12 /15, alors on a d'après l'égalité des produits en croix : 15 a = 12 b mais on ne peut pas en déduire que a = 12 et b = 15.

L'exercice est le suivant (d'après un livre de collège) :
Trouver des valeurs des entiers positifs a et b tels que PGCD(a ; b) = 75 et a / b = 2/3
On a : a / b = 2 / 3 = 2 * 75 / 3 * 75 = 150 / 225.
Dans le corrigé, ils en déduisent que a = 150 et b = 225.. mais pourquoi ?
Quel raisonnement ont-ils choisi pour justifier ce choix ?

En vous remerciant,
PrOf.

Réponses

  • $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$ signifie bien qu'il existe un entier $k$ tel que $a=2k$ et $b=3k$ (pour passer d'une fraction à une fraction égale on a divisé ou multiplié par un même nombre)

    et donc leur $pgcd(a,b)=k$ puisque $2$ et $3$ sont premiers entre eux.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour FdP,
    tu pourrais m'expliquer davantage stp, car pour le moment, je ne comprends pas en quoi ta réponse répond à ma question :-S

    Merci bien.
  • Ta question est:

    Ce qui est clair est que le pgcd de 150 et de 225 est 75

    Et que $\dfrac{150}{225}=\dfrac{2\times 75}{3\times 75}=\dfrac{2}{3}$

    Mais, est-ce la seule solution?
    Ce que j'ai expliqué plus haut montre, qu'en effet, il n'y a pas d'autres $a,b$ qui vérifient les conditions requises.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour PrOf

    Dans cette suite d’égalités de fractions : a / b = 2 / 3 = 2 * 75 / 3 * 75 = 150 / 225 ; quelle est celle dont le pgcd du numérateur et du dénominateur est 75 :-D.

    Quant au raisonnement, $\frac a b = \frac 2 3$, comme $2$ et $3$ sont premiers entre eux, si l'on veut une fraction égale à la précédente, par quoi faut-il multiplier les numérateurs et dénominateurs pour que ceux-ci aient un pgcd choisi ? Dans ton exemple de départ, tu omets la condition essentielle du pgcd.

    Bruno

    [Grillé par FdP]
  • Ah oui d'accord.

    Mais comment expliquer aux élèves cet argument, au sens où ils sont en 3ème, et qu'on leur apprend que :
    si a / b = 12 /15, alors on a d'après l'égalité des produits en croix : 15 a = 12 b mais on ne peut pas en déduire que a = 12 et b = 15.

    Une idée ?

    Merci FdP.
  • Si on veut déterminer tous les couples d'entiers $(a,b)$ qui vérifient $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$


    Cette derniere est équivalente, avec le produit en croix à:

    $3a=2b$ (1)

    Cela signifie, en particulier, que $3$ divise $2b$ mais $3$ est premier avec $2$ donc d'après le lemme(théorème) de Gauss on a que $3$ divise $b$ donc il existe $k$ entier tel que $b=3k$
    On reporte dans l'équation (1):

    $3a=2\times 3\times k$ on en déduit que $a=2k$

    Donc si $(a,b)$ est solution de (1) alors $a=2k,b=3k$ pour un certain entier $k$.
    Réciproquement est-ce que tous les couples $(2k,3k)$ sont solutions?

    $3a=3\times 2\times k=6k$ d'une part.
    $2b=2\times 3\times k=6k$ d'autre part.

    Donc tous les couples $(2k,3k)$ sont solutions de l'équation.

    Or $\text{pgcd}(2k,3k)=k$

    Donc si on impose de plus que le pgcd(a,b) soit égal à une valeur donnée $c$ alors il n'y a plus qu'une solution à l'équation (1)
    c'est le couple $(2c,3c)$
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour Prof.

    Tu peux facilement passer de 3a=2b à a=2k. C'est le lemme de Gauss, mais même sans ça, tu remarques que 2b est pair, donc 3a est pair, et donc a est pair, puisque s'il était impair, 3a serait impair (c'est l'occasion de parler de raisonnement par contraposition).
    On en déduit immédiatement b=3k, puis la suite du raisonnement de FdP.

    Cordialement.
  • D'accord.
    Merci pour vos réponses.

    J'essaierai avec les 3ème, en espérant ne pas les noyer. :)
  • Pr0f:


    On apprend aussi aux élèves comment simplifier une fraction:

    $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times k}{3\times k}$
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Est-ce difficile de faire comprendre aux élèves que le $pgcd(2k,3k)=k$?

    Car tout repose sur cette égalité me semble-t-il.

    Ce qui est clair , me semble-t-il, est qu'on peut montrer sur des exemples que si on prend d'autres valeurs que $k=75$ on n'obtient pas que le $pgcd(a,b)=75$ et en faisant cela on fait apparaître la formule $pgcd(2k,3k)=k$
    On peut donner une explication pour justifier cette formule.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Je partirai sur cette idée Fin de Partie.

    Merci!
  • Si cela peut aider:
    Il est clair que k est diviseur commun de 2k et 3k. Peut-on trouver un diviseur plus grand qui divise ces deux nombres?
    Non, car 2 et 3 sont premiers entre eux, qu'ils n'ont aucun diviseur en commun hormis 1.

    PS:
    On peut aussi se demander la pertinence de donner un tel exercice en collège.
    Je le trouve complexe derrière son apparente facilité.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Pr0f:

    La solution que tu as indiqué dans ton premier message semble convenir en apparence.
    On peut vérifier facilement que les nombres proposés sont bien solution du problème posé.
    Mais il n'est pas traité: Y-a-t-il une autre solution? Parce qu'à priori, des couples de nombres qui ont le même pgcd, même s'il est donné, il y en a une infinité.
    C'est cette question d'unicité de la solution qui me semble problématique à expliquer proprement à des collégiens.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour,
    Si l'énoncé demande *une* solution, alors il suffit de donner une solution.
    Dans le corrigé, ils en déduisent que a = 150 et b = 225.. mais pourquoi ?
    Parce que ça marche (vérification facile).
    Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi on fait précéder "a = 150 et b = 225" d'un raisonnement ou d'un calcul. J'ai l'impression que c'est une sorte de raisonnement par analyse-synthèse non avoué et mal présenté (on ne dit pas clairement quand on prouve l'unicité (qui n'est pas demandée) et quand on prouve l'existence).
  • Bonjour,

    Je vois le raisonnement comme cela :

    Si $a/b$ doit être égal à $2/3$ -qui est une fraction irréductible- et que le $PGCD$ de $a$ et de $b$ est $75$, c'est qu'on a simplifié $a/b$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $75$ (exercice que l'on fait de nombreuses fois en troisième). Il paraît alors naturel de multiplier le numérateur et le dénominateur de $2/3$ par $75$ pour retrouver $a$ et $b$, les nombres $150$ et $225$ étant alors des candidats évidents. La question demande de trouver des nombres $a$ et $b$, on les a.
  • Bonjour.
    Propriété du PGDC : Si $d$ est le PGDC de $a$ et $b$, alors $a= \alpha d$ et $b=\beta d$ où $\alpha$ et $\beta$ n'ont pas de facteurs communs (car s'ils en avaient...).
    Donc, dans le problème qui nous occupe, $a= 75\alpha$, $b=75\beta$ et
    $$
    \frac{a}{b} = \frac{75\alpha}{75\beta} = \frac{\alpha}{\beta } = \frac{2}{3}
    $$
    Les deux dernières fractions sont réduites puisque $\alpha$ et $\beta$ n'ont pas de facteurs communs. La réduite est unique, donc $\alpha = 2$ et $\beta = 3$.

    Cordialement.

    PS. Unicité de la réduite sans factorisation :

    Hypothèses : $PGDC(a,b)=PGDC(\alpha,\beta)=1$
    Conclusions : $a=\alpha$ et $b=\beta$

    Preuve. Comme $PGDC(a,b)=1$ il existe $m$ et $n$ tels que $ma+nb=1$
    On multiplie par $\beta$ : $ma\beta+nb\beta=\beta$. Or $a\beta=b\alpha$.
    Donc $mb\alpha+nb\beta=b(m\alpha+n\beta)=\beta$
    Donc $b$ divise $\beta$.

    On montre de même que $\beta$ divise $b$, $a$ divise $\alpha$ et que $\alpha$ divise $a$.
    Les conclusions s'ensuivent.
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