Exponentielle de matrice

Bonjour à tous, je bute depuis 3 h sur un calcul qui doit être très simple.
J' ai résolu le système différentiel :
x'1=x1+ 3 x2
x' 2=2x2

Sauf erreur de calcul , je trouve
x1 = 3a e 2t + b et et x2= a e2t.Je dois en déduire e A où A est la matrice
1 3
0 2
Je sais que toute sol du systéme s'écrit x = e tA x(0) et je voudrais trouver e A.Impossible, sauf à résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues, ce qui ne doit pas être compliqué mais je pense qu'il y a plus simple car à l'oral de l'agreg on m'a demandé de faire çà avec une matrice 4x4

Réponses

  • Notons $\binom{c}{d}=\binom{x_1(0)}{x_2(0)}=\binom{3a+b}{a}$. Tu peux exprimer ta solution $\binom{x_1(t)}{x_2(t)}$ sous la forme d'un produit matriciel $M\binom{c}{d}$. La matrice $M$ est égale à l'exponentielle de $tA$.
  • Ok merci, j 'avais vu çà , mais comment déterminer simplement cette matrice M.Ici c'est faisable , mais si on a une matrice 4x4 , comment faire?
  • Lorsque l'on substitue $c=1$ et $d=0$ on trouve la première colonne de $M$ et lorsque l'on substitue $d=1$ et $c=0$ on trouve la deuxième colonne de $M$ ?
  • Merci, j'y crois pas , je n'ai pas pensé une seconde à donner des valeurs particulières à a, b c et d.J'ai honte.C'était tout de même évident vu que la relation est vraie pout tout (a,b)!!!!!!Je comprends mieux mon 5 maintenant.
  • N.B. $a$ et $b$ dépendent de $c$ et $d$.
  • C'est bon, j'ai trouvé merci beaucoup.Je comprendrai jamais comment je peux bloquer sur des choses aussi simples.
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