Polynômes et racines...

Bonjour,

Je ne parviens pas à démontrer le résultat suivant sans avoir recours au théorème fondamental des polynômes symétriques :

Soit $P\in\mathbb{Q}[X]$ et $\xi_0$ une racine complexe de $P$. Si $m\in\mathbb{N}^*$ et $R$ désigne le polynôme minimal de $\xi_0^m$ sur $\mathbb{Q}$ alors les racines complexes de $R$ sont de la forme $\xi^m$ avec $\xi$ racine de $P$

Il doit y avoir un argument tout bête, mais mes souvenirs d'algèbre sont hélas déjà loin... Merci pour votre aide !

Réponses

  • Si tu connais un peu de théorie de Galois, c'est assez immédiat.
  • La théorie de Galois fait partie de mes souvenirs lointains... Mais je veux bien néanmoins que tu me dises comment tu procèdes.
  • Soit $x$ une racine de $R$.
    Alors il existe $\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$ tel que $x=\sigma(\xi_{0}^m)=[\sigma(\xi_{0})]^m$.
    Or, $\sigma(\xi_{0})$ est racine du polynôme minimal de $\xi_0$ qui divise $P$.
  • Merci à gai requin. Je suis rouillé sur ces choses-là. Je suis content que tu me rafraîchisses la mémoire !
  • La méthode avec les $Q$-endomorphisme me semble être la méthode canonique.
    Je propose cependant une autre méthode.
    On peut supposer $P$ unitaire sans rien perdre.
    Soit $M$ la matrice compagnon du polynôme $P$.
    La matrice $M$ est une matrice carrée à coefficients rationnels qui admet $P$ comme polynôme caractéristique.
    Elle est semblable à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les racines de $P$.
    Notons $A=M^m$, alors $A$ est à coefficients rationnels et est semblable à une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les puissances $m$-ième des racines de $P$.
    Notons $Q$ le polynôme caractéristique de $A$.
    Les racines de $Q$ sont les puissances $m$-ième des racines de $P$.
    Donc $Q$ admet $\xi_0^m$ comme racine donc $R$ divise $Q$ car $Q$ est à coefficients rationnels. C'est fini.
  • Merci gai requin, ça a l'air effectivement très rapide : il faut vraiment que je me replonge dans la théorie de Galois.

    Voilà comment j'avais procédé :

    Notons $P=\alpha\prod\limits_{i=1}^{n}(X-\xi_i)$, avec $\alpha\in\mathbb{Q}$ et $\xi_i\in\mathbb{C}$.
    On a $Q:=\prod\limits_{i=1}^{n}(X-\xi_i^m)=X^n+\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^k\sigma_{n,k}(\xi_1^m,\cdots,\xi_n^m)X^{n-k}$, où $\sigma_{n,k}(T_1,\cdots,T_n)$ désigne le $k-$ième polynôme symétrique élémentaire à $n$ indéterminées. $A_k(T_1,\cdots,T_n)=\sigma_{n,k}(T_1^m,\cdots,T_n^m)$ est un polynôme symétrique de $\mathbb{Z}[T_1,\cdots,T_n]$ donc il existe $B$ dans $\mathbb{Z}[T_1,\cdots,T_n]$ tel que $A_k(T_1,\cdots,T_n)=B(\sigma_{n,1},\cdots,\sigma_{n,n})$. Or comme $P\in\mathbb{Q}[X]$, on a $\sigma_{n,k}(\xi_1,\cdots,\xi_n)\in\mathbb{Q}$, d'où $\sigma_{n,k}(\xi_1^m,\cdots,\xi_n^m)\in\mathbb{Q}$, ce qui implique que $Q\in\mathbb{Q}[X]$. Le polynôme minimal d'un des $\xi_i^m$ divise $Q$ donc ses racines sont bien de la forme attendue.
  • En quoi est-ce plus compliqué que l'utilisation des $\Q$ automorphismes de $\C$ ?
    Variante : le résultant (par rapport à $Y$) de $P(Y)$ et de $Y^m-X$ est un polynôme de $\Q[X]$ qui a pour racines les puissances $m$-èmes des racines de $P$. Il est divisible par $R$.
  • Merci GaBuZoMeu ; il faut que je remette mon nez dans un livre d'algèbre pour apprécier ta variante.
    (Je vois que tu as rassemblé les morceaux et pris tes quartiers sur le continent).
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