Cauchy $d(x_n,x_{n+1})$

Bonjour,
Je rouille jour après jour, il est temps que j'arrête les maths.
J'ai vague souvenir que $d(x_n,x_{n+1}) \to 0$ suffit pour que la suite $(x_n)$ converge lorsqu'on est dans un espace compact... Est-ce bien vrai ou sinon y a-t-il une autre condition que la compacité pour que ce soit vrai ?

Réponses

  • Que dire de la suite $n\mapsto e^{iH_n}$ où $H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$ ?
  • Bonjour,

    Personnellement ça me rappelle plus une condition (nécessaire, mais surtout) suffisante pour qu'une suite soit de Cauchy lorsqu'on a affaire à une distance ultramétrique (i.e. $\forall x, y, z \in E, d(x, z) \leq \max(d(x,y), d(y,z))$).

    On pouvait penser à $n \mapsto n^i$ également par exemple.
  • Il y avait peut-être l'hypothèse de l'existence d'une valeur d'adhérence dans cet exo...
  • Steven,

    en prenant dans $[0;1]$ qui est compact, la suite :
    $0,1,0,\frac{1}{2},1,0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,0,\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{1}{2},\frac{5}{8},\frac{3}{4},\frac{7}{8},1,\frac{1}{16}, ...$
    on voit que 0 est valeur d'adhérence de cette suite divergente qui respecte ta condition.
    Peut-être avec une valeur d'adhérence unique ?

    Cordialement.
  • Petits rappels, tout de même : dans un espace compact, toute suite admet une valeur d'adhérence, et la valeur d'adhérence est unique si et seulement la suite converge.
  • La suite $\sin(\sqrt{n})$ est un contre-exemple. Elle reste dans un compact ($[-1;1]$), la distance entre 2 termes consécutifs tend vers $0$, et pourtant elle ne converge pas.
  • Merci.
    Peu importe en fait j'ai $d(x_n,x_{n+1})<2^{-n}$ et de ceci on a Cauchy.
    Cet exo dont je me souviens vaguement c'était je crois dans le livre "Topologie" de chez Ellipses mais c'est un vieux souvenir (~15ans).
  • Dans R, on a aussi le "classique" résultat : si $|x_n-x_{n+1}|\rightarrow 0$ alors l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(x_n)_{n\in\N}$ est un intervalle.
  • Ca me dit quelque chose aussi. L'hypothèse supplémentaire n'est elle pas $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $d(f(x),f(y))\le d(x,y)$ ?
  • aléa

    Si tu fais référence au théorème du point fixe de Picard, il faut des hypothèses un peu plus fortes que $d(f(x),f(y))\le d(x,y)$ ($f$ contractante). Sur un espace métrique complet $X$ (donc en particulier sur un espace métrique compact), avec $f:X \rightarrow X$, et s'il existe $k<1$ tel que $d(f(x),f(y))\le k d(x,y)$ ($f$ strictement contractante), alors la suite $(u_n)$ que tu définis admet comme limite l'unique point fixe de $f$.

    $f(x)=2\sqrt{x}$ sur $X=[1,+\infty[$ fournit un exemple d'application contractante mais non strictement contractante, même si pour cet exemple, $X$ n'est pas compact.

    [Inutile de répéter le message précédent. AD]
  • Oui, mais sur un compact les choses sont différentes. Par exemple si $K$ est un compact et que $f$ est une fonction de $K$ dans $K$ vérifiant $d(f(x),f(y))<d(x,y)$ dès que $x\ne y$, alors $f$ a un unique point fixe qui est la limite des itérées d'un point quelconque.
  • Montrons que si $(x_n)$ est une suite à valeurs dans un espace compact métrique $X$ telle que

    * il existe $f:X\to X$ vérifiant $x_{n+1}=f(x_n)$ pour tout $n$
    * $f$ est $1$-lipschitzienne
    * $d(x_n,x_{n+1})$ tend vers $0$

    alors $(x_n)$ converge.

    1) Toute valeur d'adhérence est un point fixe de $f$. En effet, si une sous-suite $x_{\sigma(n)}$ tend vers $a$, alors $x_{\sigma(n)+1}$ tend aussi vers $a$ d'après la troisième condition. Autrement dit, $f(x_{\sigma(n)})$ tend vers $a$.
    En passant à la limite lorsque $n$ tend vers l'infini, on en tire que $f(a)=a$.

    2) $(x_n)$ possède au plus une valeur d'adhérence. En effet, si $a$ est une d'adhérence, soit $\epsilon>0$. La boule fermée $B_f(a,\epsilon)$ est stable par $f$ d'après la partie 1). Or, il existe $N$ tel que $x_N\in B_f(a,\epsilon)$. Par stabilité, on a $x_n\in B_f(a,\epsilon)$ pour tout $n\geqslant N$, donc toute valeur d'adhérence se trouve dans $B_f(a,\epsilon)$. Comme ceci est valable pour tout $\epsilon>0$, on en déduit l'unicité de la valeur d'adhérence.

    3) Comme dans tout compact toute suite admettant une unique valeur d'adhérence converge, la suite $(x_n)$ converge.
  • C'est très élégant, JLT, merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.