Olympiade de math 2014 (2e journée)

Rouletabille

Voici la version anglaise des énoncés de la seconde journée (09/07/2014). Traduction suit.

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4. Let $P$ and $Q$ be on segment $BC$ of an acute triangle $ABC$ such that ${\widehat{PAB}}={\widehat{BCA}}$ and ${\widehat{CAQ}}={\widehat{ABC}}$. Let $M$ and $N$ be the points on $ AP$ and $ AQ$, respectively, such that $ P$ is the midpoint of $AM$ and $Q$ is the midpoint of $AN$. Prove that the intersection of $BM$ and $CN$ is on the circumference of triangle $ABC$.

5. For every positive integer $n$, Cape Town Bank issues some coins that has $\frac{1}{n}$ value. Let a collection of such finite coins (coins does not neccesarily have different values) which sum of their value is less than $99+\frac{1}{2}$. Prove that we can divide the collection into at most $100$ groups such that sum of all coins' value does not exceed $1$.

6. A set of lines in the plane is in general position if no two are parallel and no three pass through the same point. A set of lines in general position cuts the plane into regions, some of which have finite area; we call these its finite regions. Prove that for all sufficiently large $n$, in any set of $n$ lines in general position it is possible to colour at least $\sqrt{n}$ lines blue in such a way that none of its finite regions has a completely blue boundary.

Note: Results with $\sqrt{n}$ replaced by $c\sqrt{n}$ will be awarded points depending on the value of the constant $c$ .

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http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=16&year=2014&sid=154dedf8e8099ad8f16f7557acfa98ef

Rouletabille

(Ma) traduction des énoncés de la seconde journée (09/07/2014).

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4. Soient des points $P$ et $Q$ sur le segment $BC$, côté d'un triangle acutangle $ABC$ tel que : ${\widehat{PAB}}={\widehat{BCA}}$ et ${\widehat{CAQ}}={\widehat{ABC}}$. Soient $M$ et $N$ les points de $ AP$ et $ AQ$, respectivement, tels que $ P$ est le milieu de $AM$ et $Q$ est le milieu de $AN$. Prouver que l'intersection de $BM$ et $CN$ est sur le cercle circonscrit au triangle $ABC$.

5. Pour tout entier $n$ strictement positif, la Banque du Cap émet des pièces de monnaie de valeur $\frac{1}{n}$. Soit une collection finie de ces pièces (qui n'ont pas nécessairement des valeurs distinctes) dont la somme des valeurs est inférieure à $99+\frac{1}{2}$. Prouver que l'on peut diviser cette collection en au plus $100$ groupes tels que la somme des valeurs des pièces de chaque groupe ne dépasse pas $1$.

6. Un ensemble de droites du plan est en position générale si deux d'entre elles ne sont jamais parallèles et si trois d'entre elles ne passent jamais par un même point. Un ensemble de droites en position générale divise le plan en régions dont certaines ont une aire finie ; nous appelons ces dernières des régions finies. Prouver que pour $n$ suffisamment grand, dans tout ensemble de $n$ droites en position générale, il est possible de colorier au moins $\sqrt{n}$ droites en bleu de telle manière qu'aucune des régions finies n'ait un périmètre complètement bleu.

Note : Un résultat avec $\sqrt{n}$ remplacé par $c\sqrt{n}$ sera récompensé par un certain nombre de points, dépendant de la valeur de la constante $c$ .

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J'attends la version française officielle pour voir si j'ai bon ...

pldx1

Bonsoir,

Pour l'exercice 4. Coordonnées barycentriques. $P=0:a^2-c^2:c^2$. D'où $M=-a^2:2a^2-2c^2:2c^2$. Enfin $X=BM\cap CN=-a^2:2b^2:2c^2$ vérifie $\sum a^2yz=0$. Le point $X$ et les deux autres obtenus en privilégiant l'un des 2 autres cotés forment le triangle circumcévien du point de Lemoine, et la droite $AX$ est l'une des symédianes du triangle.

Cordialement, Pierre.

Rouletabille

Bref, discussions sur les 6 exercices sur le site AoPS :

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewforum.php?f=1098

Ne regardez pas si vous voulez chercher ;-)

JLT

Pour l'exercice 4 :

Notons $\alpha,\beta,\gamma$ les angles de $ABC$. D'après la loi des sinus dans les triangles $ABP$ et $ACQ$, on a
$\dfrac{BP}{PA}=\dfrac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\dfrac{QA}{QC}$, donc $\dfrac{BP}{PM}=\dfrac{NQ}{QC}$. De plus, une chasse aux angles immédiate montre que $\widehat{NQC}=\widehat{BPM}=\pi-\alpha$. On en déduit que $BPM$ et $NQC$ sont semblables. De plus, l'angle de la similitude est $\alpha$, donc l'angle entre $\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{CN}$ est égal à $\alpha$.

Rescassol

Bonjour,

Je pense qu'il faudrait rapatrier dans le forum de géométrie tout ce qui a trait à la géométrie dans les exercices des olympiades.
Pour l'exercice 4, Morley circonscrit me sussure que:
$p=\dfrac{ba^2-ac^2+bc^2-s_3}{a(b-c)}$ , $m=\dfrac{a^2b + ca^2 - 2ab^2 - 2s_3 + 2cb^2}{a(c-b)}$
De même pour $q$ et $n$ en intervertissant $b$ et $c$.
Puis $a'=\dfrac{a(b+c)-2bc}{2a-b-c}$ qui est de module $1$ donc $A'$ est sur le cercle.
$(AA')$ est une symédiane parce que le point de Lemoine $k=\dfrac{6s_1s_3-2s_2^2}{9s_3-s_1s_2}$ est dessus.
De même $(BC)$ est une symédiane des triangles $ABA'$ et $ACA'$.



Cordialement,

Rescassol

Rescassol

Bonjour,

$K$ est également le point de Lemoine du triangle $A'B'C'$, où $B'$ et $C'$ sont les points analogues à $A'$ par permutation circulaire.
Autrement dit, la droite $(AA')$ est aussi bien une symédiane de $ABC$ que de $A'B'C'$.

Cordialement,

Rescassol