Sommes partielles de la série des cos(P(n))

Bonjour,

Il y a une semaine j'ai posté une question sur la bornitude des sommes partielles de la série (divergente) des $\cos\left(n^2\right)$.

En fait, grâce aux dialoguex sur ce site avec entres autres H et enonce et en m'inspirant des travaux de Terence Tao, j'ai fini par élargir la question et y répondre.

Je vous soumets le résultat de mes travaux..

Je suis ouvert à toute critique, toute correction de coquille (ou pire !) ainsi qu'à toute question.

Bonne lecture à vous et merci aux intervenants que j'ai cités plus haut.

Réponses

  • Bonsoir,

    La preuve semble sérieuse, mais je n'ai ni la compétence, ni la qualification pour la valider.
    J'ai cependant 3 questions connexes à poser ( par curiosité) sur les sommes $S(n) = { \sum _{k=0}^{n}} \,cos(k^{m})$

    1) A-t-on une idée sur l'existence et éventuellement la valeur d'un nombre réel positif $\alpha$ tel que:
    si $m$ est réel positif et $m<\alpha$ alors les sommes sont bornées.
    si $m$ est réel positif et $m>\alpha$ alors les sommes sont non bornées.


    2)Dans des cas où les sommes sont bornées, lorsque m est réel, connait on des valeurs des bornes?

    Pour le cas $m=1$ bien connu, avec $S(n) = { \sum _{k=0}^{n}}cos(k)$ , j'ai par exemple trouvé:
    pour la borne inf : $m_{0}=- { \frac {\cos^2({ \frac {\pi}{4}}+ { \frac {1}{4}} )}{\sin({ \frac {1}{2}} )}}$ et pour la borne sup : $M_{0}={ \frac {\sin^2({ \frac {\pi}{4}} + { \frac {1}{4}} )}{\sin({ \frac {1}{2}} )}} $
    On peut remarquer que $m_{0}+M_{0}=1$.
    ( je ne sais pas si ces résultats sont aussi connus car on utilise en général une majoration de ces sommes)

    3)Que sait on de façon analogue sur les les sommes $S(n) = { \sum _{k=0}^{n}} \,(-1)^kcos(k^m)$ ?

    Pour le cas $m=1$ , avec $S(n) = { \sum _{k=0}^{n}} (-1)^k cos(k)$ , j'ai par exemple trouvé:
    pour la borne inf : ${m_{1}}= -{ \frac {\sin^{2}({\frac {1}{4}} )}{\cos({ \frac {1}{2}} )}}$ et pour la borne sup : ${M_{1}}= { \frac {\cos^{2}({\frac {1}{4}} )}{\cos({ \frac {1}{2}} )}} $
    On peut remarquer là aussi que $m_{1}+M_{1}=1$.

    Cordialement
    Le zéro crée des difficultés comme le vide donne le vertige
  • Bonsoir;

    Le papier ne traite que les cas où $m$ est entier (dans le théorème, $P$ est un polynôme).

    Si $m=1$ les sommes sont bornées et on connaît la borne comme tu l'as mentionné.

    Pour le 3) que tu évoques, il suffit de remplacer $(-1)^k$ par $e(k/2)=e^{i\pi k}$ et le résultat découle du théorème.

    Concernant la technicité de la preuve, quels sont les moments où tu es perdu ?
  • troisqua a écrit:
    Le papier ne traite que les cas où m est entier (dans le théorème, P est un polynôme).
    Oui bien sûr, mais j'ai comme intuition (parfois trompeuse certes) que l'on perd l'équirépartition et l'existence des bornes dès que l'exposant de $k$ est un réel $m \neq 1$, par contre beaucoup d'autres sommes avec $m=1$ sont bornées comme par exemple $S(n) = { \sum _{k=0}^{n}} (-1)^k | cos(k)| $ ,

    Une chose assez étonnante : si l'on effectue la sommation à partir de k=1 ( au lieu de k=0) dans les sommes que j'ai données, les bornes sont permutées en changeant de signe...

    J'ai suivi ton papier mais n'ai plus assez de temps ni de recul pour déceler une faille éventuelle.
    Bonne poursuite dans ta recherche.

    Cordialement
    Le zéro crée des difficultés comme le vide donne le vertige
  • Le cas où $m$ est réel non entier me semble très difficile. Les arguments du papier reposent sur une récurrence à partir de $m=1$ et la chute de 1 du degré de $P(x+i)-P(x+j)$ pour $i\neq j$.
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