Nombre : définition(s)

Bonsoir

J'aurais aimé débattre avec vous ce soir sur la définition d'un nombre : que répondriez-vous à un élève qui vous demande de définir ce terme.
Voilà comment Je ferais pour ma part :
Un nombre est un concept permettant de compter des objets ou des êtres (1), de mesurer et de comparer des grandeurs (2), d’évaluer (3) mais aussi d’ordonner des objets de même nature (4).

(1) 2 + 2 = 4 ; 3 chiens + 2 chiens = 5 chiens ; 7 chaises + 2 chaises = 9 chaises ;
(2) Le périmètre d'un carré de côté 3 cm est 12 cm
Le périmètre d'un carré de côté 4 cm est 16 cm ;
le premier carré à un périmètre plus petit que celui du deuxième.
(3) : tu as 16 / 20 au dernier devoir ; ton camarade 10 /20 : tu es meilleur que ton camarade sur ce devoir. (3)
(4) les notes du groupe, de la moins bonne à la meilleur, sont sur 20 : 4 ; 8 ; 10 ; 12 ; 16 ; 17.

Merci de complémenter mes dires par vos connaissances,
Cordialement,
PrOf.

Réponses

  • Est-ce le cas des nombres complexes ? des nombres $p$-adiques ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • La question est-elle théorique ou cela t'est-il arrivé ?

    Il me semble que la question est très vague. La question porte-t-elle sur l'utilité des nombres ? Sur leur définition mathématique ? Pour pouvoir répondre il faut préciser cela et préciser le niveau de l'élève.
  • Cela m'est arrivé, lors des nombres décimaux en sixième, je parle un peu des chiffres romains, l'évolution des chiffres au cours du temps, d'où ma question.
    Elle n'est pas théorique, mais J'aimerais une réponse simple pour des élèves du secondaire, au cas où elle me revient à nouveau.
  • Bonsoir !

    Je me permets de te donner ma propre définition de ce qu'est un nombre, qui, je pense, se veut généraliste mais que l'on peut spécifier.
    Premièrement, je parle de classe numérale; une classe numérale est un objet qui est définit selon son comportement face à des fonctions. C'est-à-dire que si on prend l'ensemble des réels et l'addition comme étant acquis, on peut définir une classe modale "v" ainsi : v+0=3; v+7=2; v+9=1;v+v=v; 6+v=3.Bref, il existe une infinité de classes numérales et on peut même dire qu'à toute équation il existe une infinité de classes numérales qui la résolvent.
    Voici un exemple de classe numérale, (même si en réalité, tout objet mathématique est une classe numérale), le nombre imaginaire $i$. Si on définit pour chaque fonction (on peut se contenter de le définir que pour les fonctions usuelles) on aurait quelque chose comme i+i=2i; i*i=-1; i+3=i+3;23*i=23i; i**2 = -1;...

    Maintenant, à partir de ce semblant de définition, si on souhaite définir ce que sont les réels, on dira que l'ensemble des réels est n'importe quel ensemble de classes numérales où par le biais de des propriétés de l'addition et des autres opérations, toutes les classes sont ordonnées et où l'on peut toujours trouver une classe numérale qui se situe entre deux autres classes numérales. Donc les réels ne sont qu'un ensemble de classes numérales particuliers (aux opérations d'addition, de multiplication, ...).

    Dernière chose, concernant les classes numérales, on peut choisir de considérer que la forme n'a pas d'importance (et alors, seule la structure compte), ou alors, si l'on décide que la forme à de l'importance, il faut alors parler d'ensembles de classes numérales "homéomorphe". Ainsi par exemple, compter en nombre de chiens ou en nombre de poires revient au même, c'est pour cela qu'on utilise la forme la plus simple (mais peut-être plus abstraite) compter avec des nombres tout court.

    Voilà, voilà, si c'est pour l'expliquer à quelqu'un, je vous conseille simplement de vous en inspirer (vue mon explication en même temps ^^), mais j'espère que ça en intéressera certains.

    Hebsilone.
  • Mais il me paraît difficile d'adapter cela à un élève de 6ème ...
  • C'est moi, ou $i\in\R$ avec cette définition ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Bonsoir,

    c'est quoi une classe numérale?

    cdt
  • Et on peut définir un grand O numéral? X:-(
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour PrOf.

    Au niveau collège, le nombre c'est ce qui sert à calculer. Plus tard, on calculera avec des objets mathématiques qui ne sont plus des nombres (vecteurs géométriques, fonctions, ...).
    Si ton élève est très intéressé, tu peux lui donner quelques éléments historiques (monde occidental dans la suite) : démarrage avec les nombres (entiers) et les figures; problème avec les irrationnels, ce qui fait qu'on travaille plus avec les figures (éléments d'Euclide), puis retour aux nombres au dix-septième siècle, et construction plus récente à partir des ensembles, des nombres cardinaux (et ordinaux, mais en collège, les cardinaux suffisent à l'explication), y compris des bases de la géométrie.

    Je pense que ce que tu proposais est, en quelque sorte, un développement de ce que je proposais.

    Cordialement.
  • > Je ne dis pas du tout que $i \in \mathbb{R}$, mais je disais juste que on peut définir $i$ par le biais de son "comportement" par rapport à $\mathbb{R}$. Ce qui donne bien évidement $i \in \mathbb{R} \cup i$.

    > J'invente moi même des mots, une classe numérale c'est juste un (deux) mot(s) pour faire comprendre que les nombres ne sont pas réellement particuliers en soient, mais qu'il existe parmi les nombres des nombres qui sont particuliers, ou des ensembles de nombres qui le sont.

    > Qu'est-ce que le O numéral Fin de partie ?

    Sinon, au collège, je pense que parler des nombres qui ne sont pas dans $\mathbb{R}$ n'est pas une bonne solution. Par contre, tu pourrais leur parler de la droite des réels et d'autres choses encore.
  • $i \in \mathbb{R} \cup i$



    Quelle est la signification de cette notation? :-D
    Je comptais sur toi pour me rafraichir...la mémoire X:-(
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • O numéral > O minéral > rafraîchir la mémoire ? :P
  • Hebsilone :

    C'était de l'humour ;-)
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Ah... Mais je ne vois toujours pas ce qui était censé être drôle en fait... (^^)
  • C'était tiré par les cheveux mais je n'ai pas résisté. :-D
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Pas compris non plus.
  • Pourtant avec cette chaleur vous devriez avoir compris B-)
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • À part un navrant "eau minéral" je ne vois pas.
  • Je l'avais bien dit que c'était tiré par les cheveux. X:-(
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bon au moins je vais pouvoir me coucher sans contrepéter dans tous les sens ton histoire :-).
  • Merci gerard0 d'avoir donné quelques compléments.
    :)
  • bonjour

    pour revenir à la question initiale on pourra définir les nombres suivant l'auditoire des élèves :

    en classes primaires et du collège il faut montrer la nécessité des nombres entiers naturels
    dès que l'on veut compter (par exemple les élèves de la classe) et ordonner (les élèves suivant leur âge)

    les entiers relatifs sont utilisés pour mesurer les températures (éventuellement négatives)

    l'utilité des nombres fractionnaires est mise en évidence
    dès que l'on veut couper un gâteau équitablement suivant la dimension de la famille
    l'existence des irrationnels est montrée avec la diagonale du carré de côté $1$

    les nombres réels sont mis en évidence avec des exemples d'évaluation en science physique ou économique

    en terminale S on aborde les ensembles numériques particuliers :
    les nombres entiers premiers avec leurs propriétés si caractéristiques
    les nombres complexes qui sont tout simplement des nombres à deux dimensions
    les matrices carrées $2X2$ qui sont des nombres à quatre dimensions

    présenter les nombres historiquement (avec en particulier l'intégration progressive si importante du zéro) est un plus
    mais n'est pas indispensable à une introduction mathématique des nombres

    cordialement
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