Point de Feuerbach
Bonjour ,
Pas mal d'études et d'articles ont été publiés sur ce point . Malgré cela , je ne trouve pas de réponse à cet exercice qui a sans doute été déjà traité peut-être plusieurs fois .
Si quelqu'un pouvait me mettre sur une piste , merci .
La droite reliant les centres des cercles inscrit et circonscrit d'un triangle recoupe les côtés de ce triangle en A' , B' et C' .
Les cercles de diamètre AA' , BB' et CC' passent par le point de Feuerbach .
Cordialement
Pas mal d'études et d'articles ont été publiés sur ce point . Malgré cela , je ne trouve pas de réponse à cet exercice qui a sans doute été déjà traité peut-être plusieurs fois .
Si quelqu'un pouvait me mettre sur une piste , merci .
La droite reliant les centres des cercles inscrit et circonscrit d'un triangle recoupe les côtés de ce triangle en A' , B' et C' .
Les cercles de diamètre AA' , BB' et CC' passent par le point de Feuerbach .
Cordialement
Réponses
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Bonjour,
Je te propose de le prouver en utilisant Morley inscrit.
$\triangle UVW$ est le triangle de contact du cercle inscrit et $s_1, s_2, s_3$ les fonctions symétriques de $u, v, w.$
L'affixe de $I$ est $0.$
L'affixe de $O$ est $\dfrac{2s_1s_3}{s_1s_2-s_3}.$
L'affixe de $A$ est $\dfrac{2vw}{v+w}.$
L'affixe de $B$ est $\dfrac{2uv}{u+v}.$
L'affixe de $C$ est $\dfrac{2uw}{u+w}.$
Le point de Feuerbach $Fe$ a pour affixe $\dfrac{s_2}{s_1}.$ -
Quelle est l'équation de la droite $(OI)$ ?
-
Bonjour
Le code Matlab ci-dessous résout la question.clc, clear all, close all; % On part du triangle de contact UVW syms u v w; syms uB vB wB; % Conjugués uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit vB=1/v; wB=1/w; syms s1 s2 s3; syms s1B s2B s3B; % Conjugués s1=u+v+w; % Fonctions symétriques s2=u*v+v*w+w*u; s3=u*v*w; s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle b=2*w*u/(w+u); c=2*u*v/(u+v); aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués bB=2*wB*uB/(wB+uB); cB=2*uB*vB/(uB+vB); %----------------------------------------------------------------------- % Droite(OI) poi=s2; qoi=-s1*s3; roi=0; % Droite (BC) pbc=1; qbc=u^2; rbc=-2*u; % Point d'intersection A' de (OI) et (BC) [ap apB]=IntersectionDeuxDroites(poi,qoi,roi,pbc,qbc,rbc); % Milieu Oma de [AA'] oma=factor((a+ap)/2); omaB=factor((aB+apB)/2); f=s2/s1; % Point de Feuerbach F fB=s2B/s1B; Nul=factor((a-oma)*(aB-omaB)-(f-oma)*(fB-omaB)) % On trouve O donc le cercle de diamètre [AA'] passe par F % Il en est de même par permutation circulaire pour B et C
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Je signale que la droite $(OI)$ est la droite d'Euler du triangle $UVW$.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir,
Précisons que $a'=\dfrac{2us_1s_3}{u^2s_2 + s_1s_3}$.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir,
Voici une solution avec les coordonnées barycentriques.
Le triangle de référence:
$A = (1, 0, 0).$
$B = (0, 1, 0).$
$C = (0, 0, 1).$
Le centre du cercle inscrit I :
$I=(a,b,c).$
Le centre du cercle circonscrit O :
$O=(a^2 (-a^2 + b^2 + c^2), b^2 (a^2 - b^2 + c^2), c^2 (a^2 + b^2 - c^2)).$
La droite (OI) :
$b (b - c) c (-a + b + c)x -a (a - c) c (a - b + c)y+ a (a - b) b (a + b - c)z=0.$
Le point A' intersection de (BC) et (OI) :
$A'=(0, (a - b) b (a + b - c), (a - c) c (a - b + c)).$
Le point B' intersection de (AC) et (OI) :
$B'(-a (a - b) (a + b - c), 0, (b - c) c (-a + b + c)).$
Le point C' intersection de (AB) et (OI) :
$C'(-a (a - c) (a - b + c), -b (b - c) (-a + b + c), 0).$
Le point de Feuerbach :
Fe((p - a) (b - c)^2 : (p - b) (c - a)^2 : (p - c) (a - b)^2)
Le cercle de diamètre AA' :
$(b - c)^2 (b + c) (x - y - z) (c^2 y + b^2 z) + a^4 (c y (x + y - z) + b z (x - y + z)) - a^3 b c ((y - z)^2 + x (y + z)) - $
$ a^2 (2 c^3 y (x - z) + 2 b^3 (x - y) z + b^2 c (y^2 + 2 y z - z^2 + x (y + z)) + b c^2 (-y^2 + 2 y z + z^2 + x (y + z))) + $
$ a b c (c^2 (-y^2 + z^2 + x (3 y + z)) + b^2 (y^2 - z^2 + x (y + 3 z)))=0.$
$Fe$ vérifie l'équation précédente.
Le cercle de diamètre BB' :
$-a^5 z (x - y + z) + a^4 c z (x - y + z) + c (b^2 - c^2) x (b^2 (x + y - z) + c^2 (x - y + z)) + $
$ a^3 (2 b^2 (x - y) z - c^2 (x - z) (x - y + z) + b c (x^2 + x y + (3 y - z) z)) - a (b - c) (b^2 c x (x + y - z) + b^3 (x - y - z) z +$
$c^3 x (x - y + z) + b c^2 (z (y + z) + x (2 y + z))) - a^2 c (-c^2 (x - z) (x - y + z) +b^2 (x^2 + (y - z) z + x (y + 2 z)))=0.$
$Fe$ vérifie l'équation précédente.
Le cercle de diamètre CC' :
$a^5 y (x + y - z) - a^4 b y (x + y - z) + b (b^2 - c^2) x (b^2 (x + y - z) + c^2 (x - y + z)) + $
$ a^3 (b^2 (x - y) (x + y - z) + 2 c^2 y (-x + z) - b c (x^2 - y (y - 3 z) + x z)) + a^2 b (-b^2 (x - y) (x + y - z) + $
$c^2 (x^2 + y (-y + z) + x (2 y + z))) - a (b - c) (b^3 x (x + y - z) + b c^2 x (x - y + z) - c^3 y (-x + y + z) + b^2 c (y (y + z) +$
$ x (y + 2 z)))=0.$
$Fe$ vérifie l'équation précédente.
En conclusion, le point de Feuerbach appartient aux cercles de diamètre AA' , BB' et CC'. -
Bonjour
je pense que nous avons rencontré plusieurs fois cette situation.
Une droite $\Delta $ passant par $O$ coupe les côtés de $ABC$ en $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$; l'orthopôle de $\Delta $ est sur les $3$ cercles de diamètres $\left[ AA^{\prime }\right] ,\left[ BB^{\prime }\right] ,\left[ CC^{\prime }\right] $ et cet orthopôle est le centre de l'hyperbole équilatère isogonale de $\Delta $.
Bref, votre résultat revient à dire que le point de Feuerbach est l'orthopôle de la droite $OI$ ou que c'est le centre de l'hyperbole de Feuerbach.
Cordialement. Poulbot
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