Point de Feuerbach

Bonjour ,

Pas mal d'études et d'articles ont été publiés sur ce point . Malgré cela , je ne trouve pas de réponse à cet exercice qui a sans doute été déjà traité peut-être plusieurs fois .
Si quelqu'un pouvait me mettre sur une piste , merci .

La droite reliant les centres des cercles inscrit et circonscrit d'un triangle recoupe les côtés de ce triangle en A' , B' et C' .
Les cercles de diamètre AA' , BB' et CC' passent par le point de Feuerbach .

Cordialement33449

Réponses

  • Bonjour,
    Je te propose de le prouver en utilisant Morley inscrit.
    $\triangle UVW$ est le triangle de contact du cercle inscrit et $s_1, s_2, s_3$ les fonctions symétriques de $u, v, w.$
    L'affixe de $I$ est $0.$
    L'affixe de $O$ est $\dfrac{2s_1s_3}{s_1s_2-s_3}.$
    L'affixe de $A$ est $\dfrac{2vw}{v+w}.$
    L'affixe de $B$ est $\dfrac{2uv}{u+v}.$
    L'affixe de $C$ est $\dfrac{2uw}{u+w}.$
    Le point de Feuerbach $Fe$ a pour affixe $\dfrac{s_2}{s_1}.$
  • Quelle est l'équation de la droite $(OI)$ ?
  • Bonjour
    Le code Matlab ci-dessous résout la question.
    clc, clear all, close all;
    
    % On part du triangle de contact UVW
    
    syms u v w;
    syms uB vB wB; % Conjugués
    
    uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
    vB=1/v;
    wB=1/w;
    
    syms s1 s2 s3;
    syms s1B s2B s3B; % Conjugués
    
    s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
    s2=u*v+v*w+w*u;
    s3=u*v*w;
    
    s1B=s2/s3;         % Conjugués
    s2B=s1/s3;
    s3B=1/s3;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle
    b=2*w*u/(w+u);
    c=2*u*v/(u+v);
    
    aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
    bB=2*wB*uB/(wB+uB);
    cB=2*uB*vB/(uB+vB);
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Droite(OI)
    
    poi=s2;
    qoi=-s1*s3;
    roi=0;
    
    % Droite (BC)
    
    pbc=1;
    qbc=u^2;
    rbc=-2*u;
    
    % Point d'intersection A' de (OI) et (BC)
    
    [ap apB]=IntersectionDeuxDroites(poi,qoi,roi,pbc,qbc,rbc);
    
    % Milieu Oma de [AA']
    
    oma=factor((a+ap)/2);
    omaB=factor((aB+apB)/2);
    
    f=s2/s1;     % Point de Feuerbach F
    fB=s2B/s1B;
    
    Nul=factor((a-oma)*(aB-omaB)-(f-oma)*(fB-omaB))
    
    % On trouve O donc le cercle de diamètre [AA'] passe par F
    
    % Il en est de même par permutation circulaire pour B et C
    
    Cordialement,
    Rescassol
  • Bonjour,

    Je signale que la droite $(OI)$ est la droite d'Euler du triangle $UVW$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonsoir,

    Précisons que $a'=\dfrac{2us_1s_3}{u^2s_2 + s_1s_3}$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonsoir,
    Voici une solution avec les coordonnées barycentriques.
    Le triangle de référence:
    $A = (1, 0, 0).$
    $B = (0, 1, 0).$
    $C = (0, 0, 1).$
    Le centre du cercle inscrit I :
    $I=(a,b,c).$
    Le centre du cercle circonscrit O :
    $O=(a^2 (-a^2 + b^2 + c^2), b^2 (a^2 - b^2 + c^2), c^2 (a^2 + b^2 - c^2)).$
    La droite (OI) :
    $b (b - c) c (-a + b + c)x -a (a - c) c (a - b + c)y+ a (a - b) b (a + b - c)z=0.$
    Le point A' intersection de (BC) et (OI) :
    $A'=(0, (a - b) b (a + b - c), (a - c) c (a - b + c)).$
    Le point B' intersection de (AC) et (OI) :
    $B'(-a (a - b) (a + b - c), 0, (b - c) c (-a + b + c)).$
    Le point C' intersection de (AB) et (OI) :
    $C'(-a (a - c) (a - b + c), -b (b - c) (-a + b + c), 0).$
    Le point de Feuerbach :
    Fe((p - a) (b - c)^2 : (p - b) (c - a)^2 : (p - c) (a - b)^2)
    Le cercle de diamètre AA' :
    $(b - c)^2 (b + c) (x - y - z) (c^2 y + b^2 z) + a^4 (c y (x + y - z) + b z (x - y + z)) - a^3 b c ((y - z)^2 + x (y + z)) - $
    $ a^2 (2 c^3 y (x - z) + 2 b^3 (x - y) z + b^2 c (y^2 + 2 y z - z^2 + x (y + z)) + b c^2 (-y^2 + 2 y z + z^2 + x (y + z))) + $
    $ a b c (c^2 (-y^2 + z^2 + x (3 y + z)) + b^2 (y^2 - z^2 + x (y + 3 z)))=0.$
    $Fe$ vérifie l'équation précédente.
    Le cercle de diamètre BB' :
    $-a^5 z (x - y + z) + a^4 c z (x - y + z) + c (b^2 - c^2) x (b^2 (x + y - z) + c^2 (x - y + z)) + $
    $ a^3 (2 b^2 (x - y) z - c^2 (x - z) (x - y + z) + b c (x^2 + x y + (3 y - z) z)) - a (b - c) (b^2 c x (x + y - z) + b^3 (x - y - z) z +$
    $c^3 x (x - y + z) + b c^2 (z (y + z) + x (2 y + z))) - a^2 c (-c^2 (x - z) (x - y + z) +b^2 (x^2 + (y - z) z + x (y + 2 z)))=0.$
    $Fe$ vérifie l'équation précédente.
    Le cercle de diamètre CC' :
    $a^5 y (x + y - z) - a^4 b y (x + y - z) + b (b^2 - c^2) x (b^2 (x + y - z) + c^2 (x - y + z)) + $
    $ a^3 (b^2 (x - y) (x + y - z) + 2 c^2 y (-x + z) - b c (x^2 - y (y - 3 z) + x z)) + a^2 b (-b^2 (x - y) (x + y - z) + $
    $c^2 (x^2 + y (-y + z) + x (2 y + z))) - a (b - c) (b^3 x (x + y - z) + b c^2 x (x - y + z) - c^3 y (-x + y + z) + b^2 c (y (y + z) +$
    $ x (y + 2 z)))=0.$
    $Fe$ vérifie l'équation précédente.
    En conclusion, le point de Feuerbach appartient aux cercles de diamètre AA' , BB' et CC'.
  • Bonjour
    je pense que nous avons rencontré plusieurs fois cette situation.
    Une droite $\Delta $ passant par $O$ coupe les côtés de $ABC$ en $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$; l'orthopôle de $\Delta $ est sur les $3$ cercles de diamètres $\left[ AA^{\prime }\right] ,\left[ BB^{\prime }\right] ,\left[ CC^{\prime }\right] $ et cet orthopôle est le centre de l'hyperbole équilatère isogonale de $\Delta $.
    Bref, votre résultat revient à dire que le point de Feuerbach est l'orthopôle de la droite $OI$ ou que c'est le centre de l'hyperbole de Feuerbach.
    Cordialement. Poulbot
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