Suite bornée ou non ?

troisqua

Bonjour
Depuis assez longtemps je me pose la question suivante.

On note $S_n=\sum_{k=0}^n\cos(k^2)$. Cette suite $(S_n)$ est-elle bornée ?

Quelques remarques :

• Conjecture numérique : la suite est non bornée
• Si on remplace $\cos(k^2)$ par $\cos(k)$ la suite est bornée (exercice bac+1 classique). Donc des arguments du type "la suite $n^2$ est équirépartie modulo $\pi$ donc blabla..." ne fonctionne pas (car la suite $n$ est également équirépartie modulo $\pi$.

J'ai montré que le problème est équivalent à savoir si la fonction $X\mapsto \int_{0}^{X}\left\{ \sqrt{u}\right\} \sin\left(u\right)du$ est bornée. (où $\{x\}$ désigne la partie fractionnaire du réel $x$).
J'ai également montré qu'il y avait équivalence avec la bornitude de la suite (indexée par $k$) $\sum_{n=0}^{k-1}\left(-1\right)^{n}\int_{0}^{\pi}\left\{ \sqrt{x+n\pi}\right\} \sin\left(x\right)dx$.

Voilà où j'en suis. Des idées ?

h

Je n'ai pas de réponse mais j'ai un mot clé qui peut peut-être te faire avancer : fonction de Jacobi.

troisqua

Merci pour ta réponse. Je suis allé voir la définition et quelques propriétés mais je ne vois pas le rapport. Peux-tu m'éclairer davantage ?

h

La fonction $\theta$ de Jacobi
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_thêta#Fonction_th.C3.AAta_de_Jacobi
est définie pour $z$ complexe et $\tau$ de partie imaginaire strictement positive. Tu t'intéresses à cette fonction (ou plutôt à quelque chose de très proche de la suite des sommes partielles qui la définit) quand $z=0$ et $\tau=1$. On n'est donc pas dans le domaine de définition de la fonction mais au bord. Il n'est pas impossible qu'il existe sur la fonction $\theta$ des informations sur son comportement au bord qui te permettent de conclure.

Mais je n'y connais rien, je voulais juste donner ce mot clé :-).

troisqua

Merci j'avais vu une autre fonction de Jacobi (ici)

Le problème c'est qu'en cherchant un peu à droite à gauche je ne trouve pas d'étude du comportement de cette fonction au bord de son domaine. Je vais continuer.

Siméon

Je ne sais pas vous, mais moi le dessin de Wikipedia ne me rassure pas trop...

Rouletabille

Une idée, non finalisée.
Une somme de série, cela fait penser à l'intégrale généralisée correspondante, ici l'intégrale de Fresnel $\int_{0}^{+\infty }\cos (t^{2})dt$. Si l'on ne veut que prouver sa convergence, d'habitude on fait un changement de variable. Je viens de m'apercevoir qu'on peut aussi faire une intégratiion par parties (mieux vaut tard que jamais). L'intégration par parties a son analogue dans les séries, c'est la transformation d'Abel ...
Mais bon, je ne conclus pas.

troisqua

Tu as tout à fait raison. C'est comme ça que j'ai démontré les résultats de la fin de mon post. Mais après ?

abcxyz

Une discussion précédente sur ce forum (non concluante) : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,814458,814499
Et Terence Tao qui torche : http://terrytao.wordpress.com/2008/06/14/the-van-der-corputs-trick-and-equidistribution-on-nilmanifolds/#comment-383968

enonce

A noter que le théorème de Weyl évoqué par T. Tao est le même (ou quasi) que celui qu'emploie Essai dans la discussion précédente rappelée par abcxyz...Et pour cause : il n'y a pas énormément de résultats qui traitent de sommes d'exponentielles oscillantes aussi efficacement que les théorèmes issus des travaux de Weyl, Van der Corput ou Vinogradov.

h

@enonce : je n'arrive pas à décoder quel est exactement ce résultat de Weyl. Pourrais-tu le préciser s'il-te-plait ?

enonce

3 écoles essentiellement se partagent les résultats des sommes d'exponentielles : Weyl, van der Corput et Vinogradov.

Weyl a considéré les sommes d'exponentielles de polynômes à coefficients réels. Pour le degré $2$, son résultat peut s'écrire sous la forme
$$\left | \sum_{n=1}^N e ( an^2+bn) \right | \leqslant 2 N \sqrt a + a^{-1/2} \log \left ( a^{-1} \right)$$
avec $N \in \mathbb{N}^*$, $0 < a < 1$ (une condition à laquelle on peut toujours se ramener), $b \in \mathbb{R}$ et $e(x)$ désigne $e(x) = e^{2 i \pi x}$ pour $x \in \mathbb{R}$.

On peut faire un peu mieux si l'on connaît la nature diophantienne de $a$, mais en pratique c'est ce résultat que l'on utilise (voir le message d'Essai que j'évoque plus haut).

A noter la somme de Gauss
$$\left | \sum_{n=1}^N e \left( \frac{an^2+bn}{N} \right) \right | = N^{1/2}.$$

h

Merci, mais je ne vois pas comment on conclut à partir de cela. Une piste ?

enonce

Ce résultat seul est insuffisant pour conclure.

En revanche, on peut peut-être aussi voir de la façon suivante : soient $\alpha \in \left ] 0,1 \right[$, $\beta \in \R$. Si la somme $\displaystyle \left | \sum_{n \leqslant N} e(\alpha \, n^2 + \beta \, n) \right|$ était bornée, alors cela contredirait la formule de Parseval
$$\int_0^1 \left | \sum_{n \leqslant N} e(\alpha \, n^2 + \beta \, n) \right|^2 \, \textrm{d} \alpha = N.$$

troisqua

Je me réponds à moi même avec l'immense contribution de Terence Tao:

troisqua

Pour les curieux je dispose des preuves concernant le critère de Weyl ainsi que celle du théorème sur l'équirépartition des $\{P(n)\}$ où $P$ est un polynôme réel possédant au moins un coefficient irrationnel.

h

Merci beaucoup !

troisqua

@enonce

Peux-tu détailler un peu ? Je ne vois pas bien. Nous on se préoccupe de $\alpha=1$.

enonce

Non, dans ton cas tu as $\alpha = \dfrac{1}{2 \pi}$.

Je détaille : soient $\alpha, \beta \in \left ]0,1 \right[$ et $S_N (\alpha) = \displaystyle{\sum_{n \leqslant N} e(\alpha \, n^2 + \beta \, n)}$ où, conformément à l'usage, $e(t) = e^{2 i \pi t}$ ($t \in \mathbb{R}$). S'il existe $C >0$ tel que, pour tout $N$ assez grand, $|S_N (\alpha) | \leqslant C$, alors d'après Parseval
$$N = \int_0^1 \left | S_n (\alpha) \right|^2 \, \textrm{d}\alpha \leqslant C^2$$
et $N \rightarrow \infty$ fournit une contradiction.

enonce

Evidemment, le (gros) point noir de cette démonstration réside dans le fait que la borne $C$ ci-dessus doit aussi être indépendante de $\alpha$, ce qui en limite considérablement l'intérêt.

troisqua

@enonce

C'est ton égalité de Parseval qui me choque (je pense qu'elle est fausse). Peux-tu me préciser la valeur des coefficients de Fourier complexes ? Il y a un problème évident lié à l'éventuelle irrationalité de $\alpha$.

De plus comme tu l'as précisé ton $C$ dépend de $\alpha$. Bref ça merdouille beaucoup non ?

Guego

Remarque : il y a une erreur/oubli dans l'énoncé du théorème I.3 de troisqua : C'est "Soit $P$ un polynôme de $\R[X]$ dont au moins un coefficient autre que le coefficient constant est irrationnel."

troisqua

Oui merci Guego. Je suis justement en train de détailler ce papier. Quand je l'aurai terminé je le publierai dans ce fil. Beaucoup de mes collègues pensaient que cette question faisait appel à des choses beaucoup plus difficiles. L'argument de Terence Tao est juste génial.

rfc

Pour troisqua

Aurais-tu l agentillesse de mettre en pdf le papier que tu rédiges

avec les détails ?

Avec mes remerciements

troisqua

Bien sûr rfc. C'est ce que je disais juste au dessus
D'ici quelques jours j'aurai terminé (là j'ai des jurys à préparer).

enonce

troisqua a écrit:

C'est ton égalité de Parseval qui me choque (je pense qu'elle est fausse [...]Bref ça merdouille beaucoup non ?

Comme je l'ai déjà dit, $e(x) = e^{2 i \pi x}$ comme d'habitude dans tout énoncé de théorie analytique des nombres.

Ainsi, le caractère irrationnel ou pas de $\alpha$ ne joue pas.

On trouve cette identité dans de nombreux livres sur le sujet. Par exemple

H. Iwaniec & E. Kowalski, Analytic Number Theory, AMS 53, 2004, égalité (8.12) page 200.

Il n'y a pas de preuve dans ce livre, mais en voici une, avec les hypothèses ci-dessus. Puisque
$$\left | S_N(\alpha) \right |^2 = S_N(\alpha) \, \overline{S_N(\alpha)} = \sum_{n \leqslant N} 1 + \sum_{n_1 \neq n_2} e \left \{ (n_1^2-n_2^2) \alpha + \beta(n_1-n_2) \right \}$$
on a
$$\int_0^1 \left | S_N(\alpha) \right |^2 \, \textrm{d} \alpha = N + \sum_{n_1 \neq n_2} e \left( \beta(n_1-n_2) \right ) \int_0^1 e \left( (n_1^2-n_2^2) \alpha \right) \, \textrm{d} \alpha $$
et on conclut avec
$$\int_0^1 e(k \alpha) \, \textrm{d}\alpha = \begin{cases} 1, & \textrm{si } k = 0 \\ 0, & \textrm{sinon}. \end{cases}$$

Maintenant, je reprends l'application que j'en avais faite : on suppose qu'il existe une constante absolue $C >0$ telle que, pour tout $\alpha \in \left ] 0,1 \right [$ et tout $N$ entier grand, on ait $\left | S_N(\alpha) \right | \leqslant C$, alors l'égalité ci-dessus permet d'aboutir à une contradiction.

Bon ! Je suis d'accord que la contrainte est forte, ce qui rend ce résultat inintéressant, mais il est correct.

C'est même d'une façon un peu similaire que l'on démontre certains "résultats omega" (c'est-à-dire des estimations "non petit o") de certaines fonctions arithmétiques.

h

@troisqua : les moyennes se calculent explicitement et on n'a pas besoin d'équirépartition ou je dis une grosse bêtise ?

troisqua

Ok je suis stupide ! C'est en fait exactement le calcul que j'ai fait dans mon papier (sauf qu'on avait pas la même définition de la fonction $e$). Par contre je ne vois pas pourquoi appeler ça Parseval. Je cherchais quelle fonction tu développais en série de Fourier. La preuve que j'ai fournie t'évite le problème avec ton $C$ dépendant de $\alpha$.

troisqua

@H

On a besoin de l'équirépartition pour montrer que les moyennes sont nulles (on utilise, pour montrer l'équirépartition, l'irrationalité de $\frac{1}{2\pi}$.

J'ai bientôt fini mon papier pour mettre tout au clair dans les détails.

h

@troisqua : mais on a des sommes géométriques (en $n$) qui se calculent explicitement. La moyenne se détermine donc facilement. C'est comme cela que se montre d'ailleurs l'équirépartition des $x_p$ de ton 2).

troisqua

Oui et pour calculer ces sommes géométriques et les majorer il faut que la raison ne soit pas égale à 1 ce qui implique l'irrationalité du coefficient multipliant l'argument.

h

D'accord pour l'irrationalité. Par contre on n'a pas besoin de toute l'artillerie que tu exposes, il suffit de savoir sommer une suite géométrique.

troisqua

Tout à fait, je suis d'accord c'est juste que c'est le cadre naturel et que celui qui m'a donné les idées m'avait un peu expliqué comment ce cadre là lui donnait le cheminement des calculs sans effort.

h

OK :-)

C'est tout de même rigolo que ce problème qui semblait si délicat se plie finalement avec des outils aussi simple (somme d'une suite géométrie + linéarisation de produits de cosinus). Il fallait voir qu'en élevant la somme au carré on sucrait les carrés dans les arguments du cosinus ou des exponentielles.

troisqua

Oui et ceux qui bossent sur l'ergodicité connaissent cette astuce qui est très liée à Weyl et Van Der Korput. C'est en cherchant sur le net à me cultiver sur ces notions que j'ai été amené à dialoguer avec Terence Tao qui m'a filé les indications et sa démarche.

enonce

troisqua a écrit:

La preuve que j'ai fournie t'évite le problème avec ton $C$ dépendant de $\alpha$.

C'est vrai mais, comme dit plus haut par H, le critère de Weyl est un outil extrêmement puissant pour le problème posé. Je cherchais donc une idée simple pour ce problème.

Note quand même que, comme je l'ai dit ci-dessus, ma "méthode" permet d'en déduire plus : sous la contrainte forte que j'ai imposé, on a en fait
$$\left | \sum_{n \sim N} e(\alpha n^2 + \beta n) \right | = \Omega(N^{1/2})$$
(c'est-à-dire que la somme n'est pas un $o(N^{1/2})$).

Comme souvent dans ces cas-là, on conjecture que cette somme est en $\ll_{\varepsilon} N^{1/2+\varepsilon}$ (avec $\alpha, \beta$ comme il faut, bien sûr), mais on est actuellement très loin d'obtenir un tel résultat.

troiqua a écrit:

Van Der Korput

Non : van der Corput.

Mort en 1975, ce mathématicien a développé l'une des trois écoles de traitement des sommes d'exponentielle. La sienne, celle que je préfère, est la plus simple à mettre en œuvre, elle a même été "algorithmisée" (pardon...) par Phillips dans les années 30 et est devenue au fil des ans l'uns des moyens les plus efficaces et les plus rapides pour majorer les sommes
$$\left | \sum_{n \sim N} e(f(n)) \right |$$
pour peu que $f$ soit suffisamment régulière sur $[N,2N]$.

troisqua

@enonce: Merci pour toutes ces précisions et ces corrections !
@H: l'avantage de l'artillerie de mon premier papier c'est qu'elle permet de conclure aussi pour les $\cos(k^n)$ avec $n>1$ grâce à l'équirépartition des $P(n)$ où $P$ est un polynôme dont au moins l'un des coefficients sur les monômes $X^k$ (avec $k>0$) est irrationnel.

Sinon j'ai rédigé ça pour une solution élémentaire au problème avec les $\cos(k^2)$:

enonce

Moi, ça me va a priori !

Ceci dit, on peut aussi élargir ta Proposition en la suivante : soit $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$. Alors
$$\left | \sum_{M < n \leqslant M + N} e(\alpha n) \right | = o(N).$$

Preuve. On note $\| \alpha \|$ la distance de $\alpha$ à son entier le plus proche et $S_N(\alpha)$ la somme. Via la suite géométrique, on a
$$\left | S_N(\alpha) \right| \leqslant \min \left( N, \frac{1}{2\| \alpha \|} \right).$$
Or, puisque $\alpha \not \in \Z$, il existe $\varepsilon_\alpha := \varepsilon \in \left ]0, \frac{1}{2} \right ]$ tel que $\| \alpha \| \geqslant \varepsilon$. Ainsi, pour tout $N \geqslant \dfrac{1}{2 \varepsilon^2}$, on a
$$\frac{1}{2 \varepsilon N} \leqslant \varepsilon \leqslant \| \alpha \|$$
et donc
$$S_N(\alpha) = \frac{1}{2\| \alpha \|} \leqslant \varepsilon \, N$$
comme annoncé.

A noter que l'idée de considérer la somme $\left | \sum_{k} \cos((n+k)^2) \right|^2$ s'appelle le principe de décalage de Weyl.

rcf.

Pour troisqua

Tu n'oublies pas mettre en pdf le papier que tu rédiges

avec les détails

ce genre de résultat m'a toujours interressé

mille merci

h

Tu es sûr de ton développement du carré de la somme au fait ?

troisqua

@rcf: Le papier est juste au dessus (ça c'est la version light suffisante pour répondre au problème initial). Pour le pdf je veux bien mais je ne peux pas joindre de pdf via le site.

@H: oui le développement ne va pas. Il faut retirer le facteur 2 devant la somme et faire cette somme pour les $k$ différents de $k'$ .Ca ne change rien au reste.

h

En fait, il me semble qu'il reste des $n^2$ dans les arguments des exponentiels...

Du coup l'artillerie devient sans doute plus utile. L'idée n'est en fait pas de faire disparaître ces carré. L'idée est en fait que la moyenne des termes de notre suite est nulle. On ne peut rien en tirer. Du coup on élève au carré pour que la moyenne soit non nulle.

troisqua

@H. Je ne vois pas pourquoi il resterait des $n^2$.
$$\alpha\left(n+k\right)^{2}-\alpha\left(n+k'\right)^{2}=2n\alpha\left(k-k'\right)+\alpha(k^{2}-k'^{2})$$
est nul quand $k=k'$ ce qui donne une exponentielle de 1 (et il y a bien $K+1$ termes comme ça) et quand $k\neq k'$ il nous reste la somme annoncée.

h

J'ai l'impression que tu as simplement faut la somme des $e((n+k)^2)e(-(n+k')^2)$. Où est la contribution des $e((n+k)^2)e((n+k')^2)$ et des $e(-(n+k)^2)e(-(n+k')^2)$ ?

troisqua

Où vois-tu ces termes ?

h

Écris tout cela pour $K=0$ peut-être.

troisqua

Bien vu mais que penses-tu de ce petit correctif ?

h

Il y a toujours le même problème non ?

troisqua

On a $$\left(\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)\right)^{2}=\sum_{k=0}^{n}\sum_{k'=0}^{n}a_{k}b_{k'}$$


On pose $a_{k}=e\left(\alpha\left(n+k\right)^{2}\right)$ et $b_{k'}=e\left(-\alpha\left(n+k'\right)^{2}\right)$ de sorte que $a_{k}b_{k'}=e\left(\alpha\left(n+k\right)^{2}-\alpha\left(n+k'\right)^{2}\right)$ et cela justifie mon calcul non ?

h

Ta première égalité est fausse. Je te le redis : regarde avec (nouvelles notations) $n=0$.

troisqua

Tu as raison ! Du coup on se retrouve avec des termes en $$e\left(\alpha\left(n+k\right)^{2}-\alpha\left(n+k'\right)^{2}\right) $$ pour lesquels on a bien la moyenne qui tend vers 0 sans problème et les termes en $$e\left(\alpha\left(n+k\right)^{2}+\alpha\left(n+k'\right)^{2}\right) $$ ainsi que les $$e\left(-\alpha\left(n+k\right)^{2}-\alpha\left(n+k'\right)^{2}\right)$$ pour lesquels il faut utiliser le théorème sur l'équirépartition des $P(n)$ avec $P$ polynôme dont les coefficients de degré supérieurs ou égaux à 1 sont au moins pour l'un d'entre eux irrationnel(s).

Il faut donc bien passer par l'artillerie de Weyl comme dans mon premier papier.