groupe multiplicatif d'un corps est cyclique

Chessmaster

Bonjour

Sur internet, j'ai trouvé une preuve "rapide" du fait que le groupe des inversibles d'un corps fini est cyclique (reposant sur le théorème de classification des groupes abéliens) mais je n'arrive pas à comprendre un passage.
Pourquoi l'isomorphisme donne que le nombre de solutions de cette équation est le produit des pgcd.

Merci pour votre aide.

extrait de (page 17 ) :
http://math.univ-bpclermont.fr/~riche/stage-0811.pdf

trochoïde

Bonjour. Ce doit être lié au fait que l'isomorphisme est entre $(\mathbb{F}_q^*,\times)$ et $(\Z/n_1\Z\times\cdots\times\Z/n_s\Z,+)$.

Chessmaster

merci trochoide, Cet isomorphisme donne qu'il y a autant de solution de l'équation X^d=1 dans Fq* qu'à d*x=0 dans $\Z/n_1\Z\times\cdots\times\Z/n_s\Z,$
en fait pourquoi il y en pgcd(d,n1)*...pgcd(d,ns) ?


merci encore pour votre aide.

trochoïde

Et bien $X=(x_1,\ldots,x_s)\in\Z/n_1\Z\times\cdots\times\Z/n_s\Z$ est solution de $dX=0$ si et seulement si pour tout $i$, $dx_i=0$ dans $\Z/n_i\Z$. Il suffit donc de regarder les solutions de cette équation dans un $\Z/n\Z$, et vérifier qu'il y en a bien $\mathrm{pgcd}(d,n)$.

Soit $a$ ce PGCD, alors le nombre de solutions à $d\overline{x}=0$ dans $\Z/n\Z$ est le même que celui du système

$1\le x\in\Z\le n$, $n|dx$.

puis

$n|dx\Leftrightarrow \frac{n}{a} | \frac{d}{a}x$.

Il ne reste plus qu'à compter.

trochoïde

C'est facile maintenant?

Chessmaster

non je ne comprends toujours pas pourquoi il y en a le produit des pgcd ,tant pis je vais regarder une autre preuve.

merci pour votre aide

Chessmaster

Je ne suis pas d'accord avec "Il suffit de.." ça n'est pas parce que une composante est nul que que les s-1 autre le sont (sauf pour la dernière).

dx=0 veut dire dx=(0,...,0) non ?

trochoïde

Pour $x_1$ on a $\mathrm{pgcd}(d,n_1)$ choix, pour $x_2$ on a $\mathrm{pgcd}(d,n_2)$ choix, etc.

Donc pour $X$, on a $\prod_{i=1}^s\mathrm{pgcd}(d,n_i)$ choix.

Dans cette partie du raisonnement, on n'utilise pas le fait que les $n_i$ se divisent entre eux, seulement le fait que pour tout $i$, $x_i$ doit être solution dans $\Z/n_i\Z$ de l'équation $d.x_i=0$.