Division euclidienne dans Z[X]

Chessmaster

Bonjour


Je suis en train de lire une preuve de l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques et à un moment il se passe une division euclidienne dans Z[X] qui n'est pourtant pas principal.

L'auteur a l'air de dire qu'on peut quand même faire la division de A par B si B est unitaire mais que dans ce cas le quotient et le restes ne sont pas uniques (mais j'ai peut être pas compris).

Est ce que vous avez une preuve de ce résultat, est ce que c'est vrai ?

merci à tous pour votre aide.

francois51

Si le quotient et le reste sont uniques, vu qu'il y a unicité dans $\Q[X]$ il y a donc au plus un couple solution dans $\Z[X]$ et le fait que $B$ soit unitaire assure l'existence.

Ga?

Soit $\mathscr{R}$ n'importe quel anneau commutatif, $A$ et $B$ dans $\mathscr{R}[X]$ avec $B$ unitaire. Alors il existe un unique couple $(Q,R)$ de polynômes de $\mathscr{R}[X]$ tel que $A=BQ+R$ et $\deg(R)<\deg(B)$.
Existence : poser la division à la potence et y aller franco.
Unicité : si $(Q',R')$ est un autre couple, alors $B$ unitaire divise $R-R'$ de degré strictement inférieur, donc $R=R'$ et $Q=Q'$ (remarquer que, pour tout polynôme $C$, $\deg(BC)=\deg(B)+\deg(C)$ car $B$ est unitaire).

Chessmaster

merci pour vos réponse, en fait c'est surtout l'existence qui me pose problème,je suis une quiche en calcul.

mais Ga? le fait que deg(BC)=Deg(B)+deg(C) ne vient pas du fait que B est unitaire mais simplement parce que votre anneau est integre.

Ga?

Non. Je n'ai pas supposé l'anneau de base intègre. J'ai bien dit " n'importe quel anneau commutatif".

Chessmaster

au temps pour moi merci pour votre aide.

Ga?

Avec plaisir

Ga?

Merci Philippe !