Définition de Z

Rouletabille

Le fil de discussion concernant la construction de $\mathbb{N}$ à partir de $\mathbb{C}$ m'a fait penser à une question qui s'était posée à moi il y a bien des années. En ce temps-là, on venait de supprimer l'Arithmétique en Terminale : ils faisaient déjà fort, les concepteurs de programmes ! J'avais alors rédigé une sorte de cours pour présenter les débuts de l'Arithmétique à l'intention des jeunes désireux et capables de s'y intéresser, et c'était paru en plusieurs fois dans une revue que nous venions de lancer, des copains et moi.

Attention, il ne s'agissait pas d'une construction logique avec axiome ci ou ça dans la théorie de Machin ou Truc, ce que je ne saurais ni ne voudrais faire, mais simplement d'énoncer d'abord des propriétés initiales qu'on peut appeler axiomes si l'on veut, ou ne pas les appeler du tout, et surtout de n'en pas rester là, de se dépêcher de travailler avec, pour faire des Mathématiques.

Mon idée était justement de ne pas commencer par $\mathbb{N}$ parce que les constructions habituelles de $\mathbb{N}$ me semblaient trop lourdes pour le but que je m'assignais, qu'il s'agisse de l'axiomatique de Peano ou de la définition au moyen des cardinaux. Car encore une fois mon objectif n'était pas la contemplation prolongée et ravie d'un système d'axiomes, mais bel et bien l'utilisation de ces dits axiomes pour obtenir des résultats en Arithmétique, le plus vite possible.

Mon idée était de commencer par $\mathbb{Z}$, dont les propriétés sont familières pour un élève de Terminale, et faciles à énoncer. Cet ensemble $\mathbb{Z}$ est défini comme un anneau (avec élément-unité, comme les anneaux depuis longtemps), commutatif, intègre, ordonné, et tel que : $]0,1[=\emptyset $.

J'ai eu l'impression que ça suffisait et que le principe de récurrence en découlait, mais je n'en étais pas certain, j'avais comme un doute, et un lecteur m'a confirmé ce doute, mais je n'ai pas bien compris son objection, et puis je suis passé à autre chose et je n'y ai plus pensé. Je vous soumets donc la question aujoiurd'hui.

Bu

$\Z[X]$ ordonné en déclarant que $X$ est infiniment grand positif est un anneau commutatif, intègre, ordonné et qui vérifie que ${]0,1[}=\emptyset$.

Rouletabille

Merci.
Je n'ai plus le texte sous les yeux, et il me revient que j'ai oublié "archimédien" dans la liste de mes propriétés initiales. C'est indispensable pour faire de l'arithmétique, notamment pour définir la division euclidienne.

Bu

Si tu ajoutes archimédien, alors vu qu'un tel anneau se plonge dans $\R$ en respectant l'ordre ...

Bu

Au fait, comment définis-tu "archimédien" sans entier naturel ?

Rouletabille

Si je te comprends bien, on obtient bien $\mathbb{Z}$ (à isomorphisme près), et le principe du bon-ordre sur $\mathbb{Z}_+=\mathbb{N} $ en découle bien ?

Rouletabille

Pour moi, les entiers naturels, ce sont les éléments positifs ou nul de mon $\mathbb{Z}$.
Mais les doutes me reprennent, c'est pourquoi je me soumettrai bien volontiers à la critique.

Bu

Si le but est de définir $\N$, et que pour ça tu demandes l'archimédianité, comment la formules-tu sans avoir $\N$ à ta disposition ? Ca se mord la queue, non. ?

h

Personnellement je trouve l'axiomatique de Peano plus claire que cette définition. J'avais compris cette axiomatique sans difficultés en math sup tandis que la définition présenté ici me semble compliquée alors que j'ai plus de recul en math.

Mais c'est sans doute une question de goût et il est bien de présenter différents points de vue aux étudiants.

Bu

Oui H, je suis bien d'accord.

zephir

Bonsoir,

Si l'on accepte l'existence d'un corps, qu'on note $\R$, totalement ordonné et possédant la propriété de la borne supérieure (i.e. toute partie non vide majoré admet un sup), alors $\Z$ peut y apparaitre comme le plus petit sous-anneau de $\R$.
J'ai essayé. On redécouvre une copie de $\N$, le théorème de récurrence, et On a, en particulier, $\Z\cap]0,1[=\emptyset$.

Bu

Bof. $\Z$ est le plus petit sous-anneau de n'importe quel corps ordonné, et on a toujours $\Z\cap {]0,1[}=\emptyset$.

Rouletabille

En fait, mon but n'était pas de rédéfinir formellement $\mathbb{Z}$ ni $\mathbb{N}$ par une nouvelle axiomatique. C'était plus modestement de donner une liste de propositions initiales, considérées comme connues et allant de soi, selon l'antique acception des axiomes, permettant de se lancer le plus vite possible dans l'étude de l'Arithmétique.
C'est un peu la démarche de Jean Dieudonné qui au début de ses "Fondements de l'Analyse moderne" donne une liste de propriétés de $\mathbb{R}$, et s'en sert incontinent pour faire de l'Analyse (excusez l'immodestie de la comparaison).
Mais je pense que Bu a raison, ma réponse concernant le caractère archimédien ne tient pas la route, et il faut ajouter quelque chose qui soit spécifique pour obtenir $\mathbb{Z}$.

Siméon

Je ne garantis pas que la définition suivante soit juste, mais je pense qu'on pourrait aller dans la direction de ce que recherche Rouletabille avec ceci :

Soit \(A\) un anneau commutatif unitaire avec \(0 \neq 1\), et soit \(S_A = \{\{a,a+1\} : a \in A\}\). On dit que \(A\) est un anneau d'entiers relatifs si le graphe \((A,S_A)\) est connexe et sans cycle (un arbre donc).

christophe c

et s'en sert incontinent pour faire de l'Analyse (excusez l'immodestie de la comparaison)

D'une autre côté dire que Dieudonné était incontinent avant de s'y comparer relativise l'immodestie -D

christophe c

Toutes les notions du genre "archimédien", "connexe" etc, sont des notions du second ordre. Il faut préciser quelle contrainte on se met, parce qu'au second ordre IN (et Z) se définissent "à partir de rien" (essentiellement).

Rouletabille

Maintenant, affirmer que l'axiomatique de Peano est plus simple, c'est se moquer. Avec cette axiomatique, il faut tout redémontrer, associativité, commutativité, distributivité, relation d'ordre, compatibilité de cette relation, toutes choses bien connues des jeunes à qui cet exposé s'adressait. Et une fois qu'on en a fini avec $\mathbb{N}$ il faut tout recommencer avec $\mathbb{Z}$ défini laborieusement par symétrisation, et si l'on est rigoriste, ensemble de classes d'équivalence de couples d'entiers naturels ! J'ai connu comme jeune professeur une époque où l'on torturait les élèves de Cinquième avec cette construction de $\mathbb{Z}$. Plus jamais ça !

Je re-répète que mon propos était seulement de donner une liste de propositions initiales permettant de faire de l'arithmétique rapidement : division euclidienne, congruences, PGCD, PPCM, nombres premiers, etc. Et pour cela, il est clair que partir de $\mathbb{Z}$, clés en main, est bien ce qu'il y a de plus simple. Comparez les longueurs des exposés. Avec juste une propriété supplémentaire en plus de celles que j'ai énumérées (sans l'archimédianité), pour la spécificité de $\mathbb{Z}$. Quel énoncé pour cette propriété, je vous le demande ...

Siméon

@christophe : Dans sa démarche, il me semble assez clair que Rouletabille se contrefiche de cette distinction.

christophe c

Oui j'imagine, mais dans ce cas des caractérisations de $\Z$, il en existe moult. Par exemple, c'est le seul anneau ordonné* sans sous-anneau (strict), etc. Et ces définitions redonnent toutes les propriétés de $\Z$ en peu de lignes.

* je ne me rappelle pas par coeur le sens du mot "ordonné", mais vous rectifierez éventuellement.

Apparemment Rouletabille évoque les enfants, je ne sais pas si le second ordre il considère que ça leur va bien. Il n'existe pas de caractérisations de $\N$ ni de $\Z$ au premier ordre.

objet_initial

Bonjour Rouletabille,

Puisque vous supposez connus les anneaux, pourquoi ne pas dire que Z est un anneau (unifère) tel que pour tout anneau (unifère) A, il existe un unique morphisme d'anneaux de Z vers A?

christophe c

Relis la mention du public auquel il souhaiterait adresser ça :-D

Rouletabille

@ Siméon
Je ne me "contrefiche" pas de cette distinction, mais elle m'échappe, elle n'appartient pas à mes connaissances mathématiques, et pas plus à celles des matheux avec qui je suis en relation. Désolé.
Peut-être une bibliographie sur ce sujet me serait-elle utile, pour me permettre de deviser moi aussi sur ces sujets qui semblent du dernier chic ...

h

Rouletabille a écrit:

Maintenant, affirmer que l'axiomatique de Peano est plus simple, c'est se moquer. Avec cette axiomatique, il faut tout redémontrer, associativité, commutativité, distributivité, relation d'ordre, compatibilité de cette relation, toutes choses bien connues des jeunes à qui cet exposé s'adressait. Et une fois qu'on en a fini avec N il faut tout recommencer avec Z défini laborieusement par symétrisation, et si l'on est rigoriste, ensemble de classes d'équivalence de couples d'entiers naturels !

Je pense que l'on peut sans peine admettre les propriétés élémentaires de ces opérations. Le passage de N à Z est joli et cela prépare plutôt bien la notion de classe d'équivalence. Je maintiens que je n'ai pas souffert avec cette approche en sup alors que l'approche que tu proposes me fait plus mal à la tête (c'est beaucoup plus abstrait pour moi).

Je maintiens également qu'il est bon de proposer différentes approches, car tout le monde n'a pas les même préférences, chose dont R. n'a apparemment pas conscience. Pour lui, si on trouve plus simple quelque chose que lui trouve plus compliqué, c'est que l'on cherche à impressionner (voir le "affirmer que l'axiomatique de Peano est plus simple, c'est se moquer" ou de vieux fils que je ne vais pas chercher à exhumer (tiens c'est amusant, dans le vieux fil auquel je pense, c'était moi qui préférait l'approche abstraite tandis que R. préférait l'approche calculatoire ; les goûts c'est vraiment compliqué)).