Una moglie golosa

Rouletabille

Bonsoir.
Un copain linguiste m'envoie ce problème.

Dans la douce langue de notre soeur latine.
Ça pourrait servir au lycée, s'il y a encore des lycées où l'on étudie l'italien ...
Bonne soirée.
25/05/2014, 20 h :-).

JLT

Bonsoir,

Ce forum est francophone. Merci de nous donner une traduction.

Rouletabille

Bravo, JLT, français d'abord, surtout ce soir.
Mon pote linguiste m'a envoyé ça comme ça, j'ai à peu près compris, car l'italien, ce n'est vraiment pas difficile. Mais la règle consistant à imposer ici la francophonie est excellente, alors je vais me lancer dans une traduction peut-être parfois imparfaite, mais qui conserve le sens général et surtout l'aspect mathématique : que des italianisants plus compétents me corrigent.
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UNE ÉPOUSE GOURMANDE
Après avoir préparé des bonbons pour les vendre dans sa belle confiserie, Egidio veut les répartir dans des sachets. D'abord, il les compte : il y en a moins de mille. Ensuite, après calculs, il décide d'en mettre le même nombre dans chaque sachet. Mais alors qu'il a juste terminé de confectionner le premier, entre dans sa boutique cette gourmande qui est son épouse, qui prend 11 bonbons et s'en va. Maintenant, les comptes d'Egidio ne tombent plus juste car le nombre de bonbons ne peut plus être divisé exactement par le nombre de sachets, mais il ne perd pas le nord : il va utiliser ses sachets, mais il va mettre dans le deuxième un bonbon de plus que dans le premier, dans le troisième un bonbon de plus que dans le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier sachet, qui contiendra le double des bonbons qu'il a mis dans le premier.
Combien de bonbons a-t-il préparés ?
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Ce n'est pas un problème très difficile, mais je trouve que l'italien lui donne un charme particulier, c'est plutôt pour nos jeunes. Et pour rappeler qu'en Europe, on ne parle pas qu'anglais.
Bonne soirée.
R
25/05/2014

Sylvain pas logué

Rouletabille a écrit:

Et pour rappeler qu'en Europe, on ne parle pas qu'anglais.

Mais que sur ce forum, hors du français point de salut. Pourquoi se limiter à la seule langue française au lieu de défendre le plurilinguisme ? Personnellement je trouve ça sectaire. Un énoncé sympathique en italien, ça offre un peu d'évasion gratis, est-il donc interdit de rêver dans ce pays ? Pauvre France !

Rescassol

Bonjour,

Si tu veux créer un forum italien, libre à toi de le faire.
Ce n'est pas le cas ici.

Cordialement,

Rescassol

Rouletabille

Non, un forum doit avoir des règles. Moi je trouve très bien que ce forum soit francophone. C'est notre langue commune et sinon on s'exposerait à délivrer des messages qui seraient incompréhensibles à beaucoup.

Cela n'exclut pas de donner un énoncé dans une autre langue, puisque je l'ai fait et que mon message n'a pas été supprimé. J'ai trouvé légitime qu'on me demande la traduction et je l'ai fait volontiers. Personnellement, je trouve un texte en italien plus compréhensible qu'un texte en allemand, mais c'est peut-être parce que je suis occitan ...

Ainsi tout est préservé, l'ouverture à d'autres langues, et la possibilité d'être compris de tous. Tout est bien qui finit bien.

Mais j'ai l'impression que ce petit ptoblème n'a pas beaucoup plu. Dommage :-(

Rescassol

Bonjour,

Tout à fait d'accord avec toi, Rouletabille.
En plus, je suis aussi occitan.

Cordialement,

Rescassol

JLT

Pour ce qui est de la langue, je n'exclus aucun document en langue étrangère, quelle que soit la langue, mais la règle est que tout message doit être compréhensible par un lecteur qui ne connaît que le français.

Par contre, je ne comprends toujours pas le problème, même une fois traduit.

Appelons $n$ le nombre de bonbons et $k$ le nombre de sachets.

Il décide d'en mettre le même nombre dans chaque sachet. Donc il en met n/k dans chaque sachet.

> Mais alors qu'il a juste terminé de confectionner le premier, entre dans sa boutique cette gourmande qui est son
> épouse, qui prend 11 bonbons et s'en va.

Elle prend 11 bonbons où ? Je comprends qu'elle prend les bonbons parmi ceux qui n'ont pas été empaquetés, donc
il en reste n-(n/k)-11.

> il va mettre dans le deuxième un bonbon de plus que dans le premier, dans le troisième un bonbon de plus que
> dans le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier sachet, qui contiendra le double des bonbons qu'il a mis dans
> le premier.

Là je ne comprends plus. Il met plus de bonbons dans les paquets 2,..., k que dans le premier, donc il place
au total strictement plus que $k\times (n/k)=n$ bonbons. Comment est-ce possible ?

Rouletabille

En effet, tu as tout à fait raison, JLT, il me semble qu'il y a une imprécision dans l'énoncé. Moi j'ai considéré que l'épouse gourmande a pris les bonbons ici ou là, et je n'ai pas utilisé le fait qu'Egidio avait juste terminé de remplir le premier sachet, le contenu de ce premier sachet pouvant changer ensuite. J'ai seulement utilisé le fait que le nombre initial de bonbons est un multiple du nombre de sachets, et puis ce n'est pas très difficile.

D'après ce que m'a dit mon copain, ce problème vient d'une revue d'énigmes diverses, pas d'une revue mathématique, d'où sans doute cette imprécision. De même, ma solution ne nécessite pas de savoir au début qu'il y a moins de mille bonbons. Moi je rédigerais cet énoncé autrement, mais j'ai tenu à respecter l'énoncé originel.

J'ai été séduit par l'historiette et sa rédaction en italien, cela m'a semblé amusant, mais ce n'est évidemment pas transcendant.

Il me semble que ce genre de petit problème pourrait servir d'activité pluridisciplinaire au lycée ou au collège, mais ça fait bien au moins trente ans que je n'ai pas vu un professeur d'italien. Il y a sans doute de tels petits problèmes dans d'autres langues. Pour en revenir à l'anglais, il y a déjà les grands classiques "Pillow problems" ("problèmes d'oreiller") et "A tangled tale" ("une histoire embrouillée") de Lewis Carroll.

JLT

Sauf erreur de calcul je trouve 14 bonbons et 2 sachets ou 176 bonbons et 11 sachets.

Ce problème nécessite de connaître la somme des k premiers entiers, donc serait adapté a des élèves de première italianisants.
Ça doit encore exister, il y a eu 64 postes pourvus au CAPES d'italien en 2013.

Rouletabille

En effet : 14 bonbons au départ et 2 sachets (14=2x7), et après le passage de l'épouse gourmande, restent 3=1+2 bonbons, c'est un peu riquiqui, mais on ne peut l'exclure en toute rigueur.

Ou bien : 176 bonbons au départ et 11 sachets (176=11x16), et après le passage de l'épouse gourmande, restent 165=10+11+...+20 bonbons, mais cela ne convient pas car le nombre de bonbons reste multiple du nombre de sachets après le prélèvement de Mme Egidio.

Il y a aussi : 704 bonbons au départ et 22 sachets (704=22x32), et après le passage de l'épouse gourmande, restent 693=21+22+...+42 bonbons, c'est sans doute cette solution qui était attendue.

Plutôt que d'exiger que le nombre de bonbons soit plus petit que 1000, l'énoncé aurait dû prescrire qu'il soit plus grand que 20, pour exclure la mini-solution.

Demain, je rédigerai ma solution, qui est sans doute différente de celle du magazine d'où vient ce problème. Car dans la solution de 704, on peut supposer que la goulue prend ses 11 bonbons dans le premier sachet préparé par son époux, et si l'on admet cette supposition, la solution est plus simple. Pour moi la clé est que le nombre de sachets est un diviseur de 22, autre que 1 d'après le pluriel de l'énoncé, donc l'une des 3 valeurs ci-dessus.

JLT

Ah oui, j'avais oublié de vérifier si le nombre de bonbons après passage de l'épouse est un multiple du nombre de sachets.

J'avais exclu la solution 704 car elle nécessite de retirer des bonbons du premier sachet, mais après tout c'est vrai que ce n'est pas interdit par l'énoncé.

Rouletabille

Voici ma 'soluzione' que j'ai envoyée à mon pote, ici sous-titrée.

Soit c le nombre intial de 'confetti' (bonbons) et soit n le nombre de 'sacchetti' (sachets), alors c=nk, avec k entier.

Après le passage de la 'moglie golosa' (l'épouse gourmande), Egidio met x bonbons dans le premier sachet, et x+1 dans le deuxième, ... , et x+n-1 dans le n-ième, en sorte que le nombre total de bonbons est :
x+(x+1)+...+(x+n-1).

Dans une telle suite arithmétique x , (x+1), ..., (x+n-1), la somme du premier terme et du dernier égale la somme du deuxième terme et de l'avant-dernier, etc. Il s'ensuit que la somme des n termes est égale à la somme du premier terme plus le dernier, multipliée par le nombre de termes, et divisée par 2.
Ce qui donne dans le cas présent : (2x+n-1)n/2.

Ce nombre est aussi nk-11, d'où : (2x+n-1)/2=nk-11.

De plus, le contenu du n-ème et dernier 'sacchetto' (scahet) est le 'doppio' (double) du premier, soit :
x+n-1=2x, ou encore : x=n-1.

L'équation précédente devient alors : 3(n-1)n/2=nk-11, soit : 3n(n-1)=2nk-22, ou encore : n(2k-3n+3)=22.

C'est ce qui montre que n est un diviseur de 22, or de tels diviseurs, il n'y en a que quatre :
1, 2, 11, et 22.

Pour n=22, on a : 2k-3n+3=1, k=32, c=nq=704. Ça marche, les contenus des 22 'sacchetti' sont :
21, 22, 23,..., 42, dont le total est : (41+21)x22/2=693, et quand on ajoute les 11 pris par la 'moglie golosa', on a bien 704.

Pour n=11, on a : 2k-3n+3=2, k=16, c=nk=176, mais ce nombre est divisible par n=11, et donc cette solution n'est pas valable.

Enfin, pour n=2, et bien sûr n=1, on a des cas-limites à écarter comme non réalistes.

La seule solution est donc la première, et il était superflu d'indiquer que le nombre de 'confetti' est 'meno di mille' (moins de mille).

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Comme l'a fait remarquer JLT, l'énoncé est ambigu. On pourrait poser par hypothèse que l'épouse prend ses 11 bonbons dans le premier sachet déjà confectionné par Egidio, et conserver les mêmes notations, c le nombre de bonbons, n le nombre de sachets, c=nk .
Le nouveau contenu du premier sachet après prélèvement de Mme la gourmande est : k-11, et les contenus successifs des sachets sont : k-11, k-10, ... , 2(k-11).
Le nombre de ces sachets est : n=2(k-11)-(k-11)+1=k-10.
Le nombre total de bonbons dans ces nouveaux sachets est : (k-10).3(k-11)/2.
Or ce nombre total est aussi : nk-11=(k-10)k-11.
L'équation du problème est : 3(k-10)(k-11)/2=k(k-10)-11, soit : k²-43k+352=0, qui a deux racines : k=32 et k=11. Seule bien sûr k=32 convient.
En fait, cette solution n'est pas plus simple que la précédente, et elle est moins jolie ...

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Je ne sais quelle solution était donnée par le magazine d'où vient ce problème.
Peut-être irai-je voir, mais là, boulot-zoraux.
Bonne journée.