Centralisateur dans un corps

Salut à tous, question idiote pas taper je bugge là : dans un corps $K$, est-ce que le centralisateur d'un élément est un sous-corps de $K$ ?

Réponses

  • Bonjour,

    Soit $x$ cet élément,
    soit $y$ tel que $xy=yx$. Si $y \neq 0$, et si $z=y^{-1}x-xy^{-1} \neq 0$, alors $yzy \neq 0$, donc $xy-yx\neq 0$, contradiction. Donc $z=0$.
  • Oui donc c'est bien un sous-corps ?

    Dans ce cas j'ai un problème avec la démo du théorème de Wedderburn dans le bouquin de Patrice Tauvel (p. 116 pour ceux qui l'ont) : on a un corps $K$, de centre $Z$. Pour $x \in K$, on note $C_x$ le centralisateur de $x$. L'auteur commence parfaire un calcul pénible pour montrer que $[C_x:Z]$ divise $[K:Z]$, alors que c'est évident vu que $C_x$ est une extension intermédiaire non ?
  • Oui, c'est un sous-corps. Ton raisonnement a l'air correct.
  • Judoboy : c'est peut-être que le théorème usuel auquel tu fais allusion suppose les corps commutatifs (je pense à un énoncé du genre, soit \(K\to L\) une extension finie de corps commutatifs et soit \(E\) un \(L\)-espace vectoriel de dimension finie, alors \([E:K]=[E:L][L:K]\)), tandis que \(C_x\) n'est en général pas commutatif.
  • Ah oui PB, ça doit être pour ça, je vais vérifier !
  • J'ai trouvé sur Internet un texte passionnant de Gabriel Chênevert qui retrace l'histoire du théorème de Wedderburn et en recense diverses démonstrations :
    http://www.math.uqam.ca/~bouchard/autres/Wedderburn.pdf
    Je ne connaissais que la démonstration par les polynômes cyclotomiques et j'ai été très intéressé par ce texte. En particulier, il nous apprend que la première preuve correcte découverte appartient à L. E. Dickson, qui est justement celui qui en a attribué la paternité à Wedderburn. Encore une attribution problématique ...
    On trouve dans ce texte la description détaillée de ces diverses preuves, faisant appel à plusieurs notions d'algèbre et de théorie des nombres, mais toutes de difficulté comparable, et l'auteur conclut sur l'évocation d'un "principe de conservation de la difficulté en mathématiques", qui fait méditer ...
  • Ah mais est-ce qu'on peut faire une sorte de démo par récurrence, type tous les corps de cardinal $< n$ sont commutatifs, et du coup pour montrer que $K$ est commutatif on peut supposer $C_x$ commutatif et on a bien la structure d'espace vectoriel et la divisibilité des degrés ? (et si $C_x = K$ y a rien à montrer, n divise lui-même)
  • Bonjour,

    Il me semble que le théorème de Wedderburn peut se démontrer simplement de la façon suivante:

    1) Soit $K$ un corps fini.
    L'application $\phi:p \mapsto 1 + 1 + ....1$, $p$ fois est un morphisme non injectif (car $K$ est fini) de $Z$ dans $K$.
    Son noyau est alors un idéal de $\mathbb{Z}$, donc $Ker \phi=p\mathbb{Z}$ pour un certain entier positif $p$.
    Soit $q=\mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ la surjection canonique.
    On peut factoriser avec une injection $j:\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mapsto K$ car $Ker q = Ker \phi$.
    On a $\phi=j \circ q$.
    (Je ne sais pas dessiner les diagrammes commutatifs sur le forum, xy-pic fonctionne dans Texmaker, mais pas le copier-coller sur le forum).
    $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ peut être alors être considéré comme un sous-anneau de $K$, donc intègre et $p$ est premier, c'est la caractéristique de $K$.
    $F_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un sous-corps commutatif (nommé son sous-corps premier) de $K$.
    $K$ est un espace vectoriel de dimension finie (car fini) sur $F_p$, donc $card(K)=p^n$ pour un certain entier $n$.

    2) Soit $\mathcal{F}$ la famille des sous corps commutatifs de $K$.
    $\mathcal{F} \neq \varnothing$ car $F_p \in \mathcal{F}$.
    $\mathcal{F}$ est partiellement ordonnée par inclusion,et, $K$ étant fini,possède au moins un élément maximal $L$.
    Montrons par l'absurde que $L=K$:
    Sinon, soit $\omega \in K-L$, on considère le morphisme $\psi$ de $L[X]$ dans $K$ défini par $\psi(P)=P(\omega)$. $\psi$ n'est pas injectif car $K$ est fini.
    Comme $L[X]$ est principal, il existe $P \in L[X]$ tel que $Ker \psi = P \space L[X] = (P)$
    Soit $\theta: L[X] \mapsto L[X]/(P)$ la surjection canonique.
    Comme $Ker \theta = Ker \psi$, on peut factoriser avec une injection $i$ de $L[X]/(P)$ dans $K$.
    On a $\psi = i \circ \theta$.
    $L'=L[X]/(P)$ peut être alors être considéré comme un sous anneau de $K$, donc intègre.
    $L'$ étant un anneau commutatif intègre fini, c'est un corps.
    On a une suite croissante de corps $L \subset L' \subset K$.
    De plus, $\omega \notin L$ et $\omega \in L'$, donc $L \neq L'$, ce qui contredit le caractère maximal de $L$.

    D'où, $K$ est commutatif.

    3) On pourrait poursuivre et montrer que le groupe multiplicatif de $K$ est cyclique et même que c'est l'ensemble des racines du polynôme (élément de $F_p[X]$) $P(X)=X^{p^n}-X$.
    On a l'isomorphisme de corps $K \simeq F_p[X]/(P)$.

    Ai je écrit beaucoup de bêtises ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Le principal bug est que \(\omega\) ne commute pas nécessairement avec les éléments de \(L\), donc l'évaluation \(L[X]\to K\) en \(\omega\) n'a pas les bonnes propriétés que tu voudrais.
  • Bonjour,

    Il faut bien sûr corriger $\omega \in L-K$ en $\omega \in K-L$.
    Si je prend pour $\mathcal{F}$ la famille des sous corps de $K$ dont les éléments commutent avec tous les éléments de $K$, est ce que ça arrange les choses ?
    Sinon, y a-t-il moyen de s'en sortir par cette voie ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Si \(L\) est inclus dans le centre de \(K\), alors en effet ça semble s'arranger : tu obtiens un sous-corps \(L[\omega]\) qui est commutatif et qui contient strictement \(L\), mais malheureusement tu n'as pas de contradiction car \(L[\omega]\) n'est plus, a priori, inclus dans le centre de \(K\).
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