Abscisse convergence abs (Série Dirichlet)

esamb

Bonjour.
Pouvez-vous me donner une piste s'il vous plait ?
Exercice :
Soit une série de Dirichlet $\sum_{n}a_ne^{-s\lambda_n}$.
Si $D=\lim_n{\dfrac{n}{\lambda_n}}=0$, prouvez que $\sigma_a=\sigma_c=\limsup_n{\dfrac{\log|a_n|}{\lambda_n}}$

enonce

Bonsoir,

Es-tu sûr de ton énoncé ? Car cela ne fonctionne pas vraiment pour la fonction $\zeta$ de Riemann pour laquelle $a_n = 1$ et $\lambda_n = \log n$ (j'ai supposé bien sûr que ta limite était en $+ \infty$).

esamb

Désolé je suis allé trop vite, je viens de rectifier l'énoncé!

enonce

OK.

Le résultat est alors connu, et même vrai sous l'hypothèse moins forte $\limsup \dfrac{\log n}{\lambda_n} = 0$.

Voir : G. Valiron, Théorie générale des séries de Dirichlet, Mém. Sci. Math. 17 (1926), 1--56.

Cet article est disponible en ligne sur le site de NUMDAM.

esamb

Oui j'ai lu le document, le résultat y est, mais je cherche la preuve!

enonce

Ben, elle y est, la preuve, juste avant la proposition.

esamb

Maque de concentration, en lisant à la hate ce document.
Je te remercie bien @enonce.

enonce

De rien ! (tu)