Olympiades de maths 2004

CQFD

Pour ceux que cela interesse, voici en fichier joint l'énoncé des olympiades 2004 (énoncé trouvé sur le site de Charles Delaporte : http://www.ifrance.com/maths-express/)

CQFD

Lamina-le-sédentaire

Bonjour CQFD :-)

Tout d'abord merci beaucoup de nous transmettre les olympiades, et j'ai justement une question à ce propos : c'est de quel niveau ?, sup ?, spé ?, licence ?,...
Voilà qui va m'occuper...

@mitiés,

Lamina-le-sédentaire.

P.S. : je vais pas tarder à changer de pseudo : c'ui-là 'fait trop sérieux...

CQFD

Ce sont les élèves de terminale qui passent les Olympiades...

John0

Terminale !!!!

C'est vachement balèze !!! Les meilleurs font quoi comme score ?

John0

Comment fait-on l'exercice 2 ?? Quelqu'un a une piste ,??

John0

J'ai essayé en faisant: $ 2f(ab+bc+ca) = 2f(0) = f(ab-bc)+f(bc-ca)+f(ca-ab) $

mais ca ne mène à rien et je ne vois pas quelle autre substitution on pourrait faire....

lolo1

Bon f est paire, c'est clair , ensuite bien , j'ai pris b=-a+h et en remplacant partout on doit avoir pour tout a et tout h :

f(2a-h)+f(h-a^2/h)+f(a^2/h-2a)= 2 f(a^2/h-a+h) et là j'ai pris a=3h

(surtout faut pas demander pourquoi c'est le l'hyperbol (en deux mots)!!)

d'où f(5h)+f(-8h)+f(3h)=2f(7h) (sauf erreur de calcul) OR nous savons que n=degré de P est pair donc si on fait tendre h vers l'infini il faut à tout prix que :

5^n+8^n+3^n= 2 . 7^n : ça marche !!!!pour n=2 et n=4 !!! Si n est plus grand que 5 on minore le terme de droite par 8^n et ça devient faux !!!

lolo1

j'ai oublié de dire qu'on vérifie que les ax^2+bx^4 conviennent évidemment.

ave0

Bonjour à tous,

Normal de rendre copie blanche pour un élève de sup?

Allez... Rassurez-moi!

Eric

Tu disposes de 2 fois neuf heures pour faire les six exercices.

CQFD

Rectificatif : il y a six exercices à traiter en deux jours (donc 3 par jour) et en 9 h EN TOUT.
Donc 3 exercices à traiter pendant 4h30 par jour.
Personnellement, je me dis qu'il ne faut pas être surpris si ceux qui ont la médaille d'or aux olympiades de maths finissent par obtenir la médaille fields qq année plus tard.
Exemple : Jean-Christophe Yoccoz.
Lui il ne sait compter que jusqu'à 1 (si, si !!). 1er aux olympiades, 1er au concours général, 1er à Ulm, 1er à l'agreg, médaille Fields 94....
2ième, il ne sait pas ce que ça veut dire....
:-)

ave0

J'apprends le deroulement de l'épreuve. N'empêche que je ne trouve pas cela facile. En même temps je n'y consacrerai pas 9 heures pour essayer. Par contre si d'autres se sentent à leurs avantages dans ce type d'épreuves, qu'ils fassent parvenir leurs résultats sur le forum. J'ai hâte de lire tout ça.

John0

D'ou viens le: " f est évidemment paire" ???

Et dans ta démonstration, tu ne te sers pas d'une hypothèse: ab+bc+ca= 0.

Peux tu m'expliquer stp ?

Lamina-le-sédentaire

Bonjour cher CQFD :-)

Hein ? quoi ?... Terminale ?. Mais ils ont 200 de Q.I. les gars qui réussissent ça ou quoi ? ; ça relève du raisonnement de dingue des trucs pareils, waw !
La vache, ça mérite bien son titre d'"Olympiades"...
Ah, et, pour amener une comparaison, je me suis frotté au concours général des lycées de maths en 2003... bon... c'était moins dur que ça quand même !. J'en reviens toujours pas...
Merci de la précision :-)

@mitiés,

Lamina-le-sédentaire.

Philippe Malot

Si vous voulez parler avec des habitués d'olympiades, c'est par là :
http://www.mathlinks.ro/Forum/

lolo1

John,

ab+bc+ac=0 n'est pas une hypothèse, c'est une condition. (c'est dedans que je remplace une fois avoir exprimé a et b en fonction de h).

Pour f paire suffit de faire c=0=b l'hypothèse est vérifiée pour tout a , tu remplaces :

f(a-0) + f(0) + f(-a) = 2 f(a) en particulier si a=0 on a f(0)=0 !

llb_

Bonsoir,

Je suis à peu près d'accord avec toi lolo, mais je ne vois pas ton argument de faire tendre $h$ vers $+\infty$. On trouve $+\infty=+\infty$ non ?
Par contre, puisque l'égalité est vérifiée pour tout $h$, et qu'on a l'égalité de deux polynômes en $h$ qui sont $f(5h)+f(8h)+f(3h)$ et $2f(7h)$ et en égalisant les coefficients de $x^n$ dans ces deux polynômes, alors on a l'egalité etc...

Une autre façon de tomber sur cette égalité (qui revient au même, mais peut etre plus naturel que de considérer $a+h$ puis $a=3h$), c'est de chercher une relation a priori en particularisant $a$, $b$, $c$. La première idée est de regarder $a=b\neq 0$ et on obtient $c=-1/2a$, mais en injectant dans l'égalité, on tombe sur une égalité triviale. Du coup la deuxième idée est de regarder $b=2a$ et on obtient $c=-2/3a$ pour que l'égalité $ab+bc+ca=0$ soit vérifiée, ce qui entraine que
$$f(-a)+f(8/3a)+f(-5/3a)=2f(7/3a),$$ et ceux pour tout $a$ non nul. C'est à dire que l'on a l'égalité des deux polynômes (de droite et de gauche dans l'égalité) et en utilisant que $f$ est pair puis en égalisant les coefficients de $X^n$ ($n=deg f$), on trouve
$$1+(8/3)^n+(5/3)^n=2(7/3)^n\quad \textrm{ie}\ \ 3^n+8^n+5^n=2.7^n,$$
etc...

Sinon, il y a peut-etre une toute autre façon de procéder. Si on appelle $E$ l'ensemble des polynômes vérifiant l'égalité pour tout $a,b,c$ réels tels que $ab+bc+ca=0$, alors il est facile de voir que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R[X]$. Si on parvient à montrer que cet espace est de dimension inférieur ou égal à $2$ (en trouvant peut-etre un bon morphisme ou qq chose du genre ?), alors comme $X^2$ et $X^4$ sont dans $E$ ce sera une base de $E$ d'où le résultat.
Encore faut-il, par un moyen ou un autre, prouver que $Dim(E)\leq 2.$

Amitié.

lolo1

oui, je voulais dire que les termes principaux s'éliminent, mais c'est mieux d'identifier comme tu le fais.

amitié.