polynômes d'endomorphismes

Bonjour à tous,dans un rapport de jury de l'agreg interne il est écrit :"la leçon concernant les polynômes d'endomorphismes a donné lieu à une prestation remarquable.le candidat ayant choisi de viser la décomposition en sous-espaces cycliques pour un endomorphisme, commençant par présenter son cheminement, quelques résultats partiels, puis le lien entre ces résultats et la conclusion,et à la fin les démonstrations des différents points particuliers."
Je me pose des questions sur ces sous-espaces cycliques.S'agit-il à votre avis des ss espaces caractéristiques ou alors des ss espaces cycliques liés à la décomposition de Frobenius.Et si c'est la décomposition de Frobenius comment peut-on faire tenir çà en 1/4h?

Réponses

  • Je penche pour la deuxième solution et il me semble que c'est fait assez simplement dans le livre d'algèbre de Xavier Gourdon.
  • Ben moi aussi , je penche pour la seconde, c'est avec le "assez simplemen"t que je suis pas d'accord, c'est fait mais en utilisant 3 exercices de 2 pages chacun.Ceci dit ceci expliquerait "les quelques résultats partiels" et le "lien entre ces ces résultats" qui est assez facile à faire vu que le découpage est déjà fait .Je tente de préparer et je reviens commenter après.
    PS:oui je sais je suis fou , je prépare déjà la session prochaine mais j'en ai marre d'être admissible chaque année depuis 6 ans et de me me planter parce que j'ai rien préparé pour l 'oral.
  • La preuve que tout endomorphisme $f$ de $E$ se décompose comme somme directe d'endomorphismes cycliques se fait par récurrence et tient assez facilement en un quart d'heure. Une fois qu'on sait qu'il y a un premier bloc cyclique (celui pour le polynôme minimal de $f$), je prends donc ce premier sous-ev cyclique (de dimension finie $k$) que j'appelle $F \subset E$, je prends $v \in F$ un vecteur cyclique qui engendre $F$. Autrement dit, $v,fv,f^2v,\ldots,f^{k-1}v$ forment une base de $F$ et on a $f^kv=0$. Notation : j'appelle $w=f^{k-1}v$ le "dernier" vecteur de la base, c'est lui le plus important dans l'idée de la preuve.

    Maintenant je choisis une forme linéaire $\phi$ sur $E$ qui vaille $1$ sur le dernier vecteur $w$, et nulle sur les autres vecteurs $v,fv,f^2v,\ldots,f^{k-2}v$ de la base cyclique de $F$, et sur le reste de $E$ on s'en fout. Puis, appelons $F^* \subset E^*$ le sous-ev de $E^*$ engendré par $\phi,\phi \circ f,\phi \circ f^2,\ldots,\phi\circ f^{k-1}$. Il est stable sous ${}^tf$.
    Alors, $H = (F^*)^\bot \subset E$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$, stable par $f$, c'est quasiment tautologique, la vérification est assez rapide.

    Note : en utilisant le langage des $K[X]$-modules, tout ceci est beaucoup plus clean, en gros $F$ et $F^*$ sont des sous-modules de $E$ et $E^*$ duaux l'un de l'autre par restriction de la dualité entre $E$ et $E^*$. S'il y a un truc à retenir en tout cas, c'est que le fond du problème, c'est de choisir comment étendre des formes linéaires de $F$ à $E$ en entier.
  • Merci Frobenius.Cependant, vu mon niveau certains points ne me paraissent pas évidents , comme par exemple l'existence de v un vecteur cyclique qui engendre F.Ceci suppose connu qu'il existe un vecteur v pour lequel le polynôme engendrant l'idéal {P|P(f)(v)=0} soit égal au polynôme minimal, si j'ai bien compris ce que tu écris.C'est sans doute trivial mais je ne vois pas pourquoi.Ensuite si je fouille dans mes souvenirs, vieux de 25 ans la transposée de f c'est l'endo de E* dans E* qui a h fais correspondre h o f ....Il y a pour l'instant trop de choses que je ne maitrise pas.Je vais voir la démo du Gourdon qui me semble utiliser des outils plus élémentaires et je me pencherais sur la proposition après en essayant de faire un rapprochement entre les 2 démos( si possibilité de rapprochement il y a)
  • Euh non ce n'est pas trivial, je ne voulais pas dire ça. J'ai passé rapidement sur l'existence du premier bloc cyclique, correspondant au polynôme minimal, parce que je pensais plus à la problématique du supplémentaire stable.

    L'existence d'un vecteur v dont le polynôme minimal ponctuel soit égal au polynôme minimal de f (comme tu dis dans ton message) est effectivement la première étape de la preuve, mais c'est relativement indépendant.

    Pour la transposée de $f$, c'est comme tu dis : ${}^t f := \circ f$ : j'ai écrit $\phi$, $\phi \circ f$, ..., $\phi \circ f^{k-1}$ mais j'aurais pu écrire $\phi$, ${}^tf(\phi)$, ${}^tf^2(\phi)$, ..., ${}^tf^{k-1}(\phi)$.

    Sinon en me relisant je me rends compte que je pensais au cas nilpotent lorsque j'ai écrit que $f^k(v)=0$, il faut effacer ce petit bout en général ! Désolé ! Cela dit, ça ne change rien au reste, en fait.

    Ma réponse n'est pas une preuve complète bien sûr. Un développement c'est quand même un pdf de une à deux pages...

    Remarque : si je me trompe pas, on doit pouvoir également présenter les choses comme ça :
    L'élément $\phi \in E^*$ engendre sous application successive de ${}^tf$ le sous-espace $F^* \subset E^*$ qui est donc stable sous ${}^tf$. Dans ce sous-espace, $\phi$ est un vecteur cyclique pour ${}^tf$. Noter que les polynômes minimaux de $f$ et de ${}^tf$ sont les mêmes.

    On se retrouve donc avec un sous-ev $F^*$ de $E^*$, de dimension $k$ : son orthogonal $H$ dans $E$ sera donc stable sous $f$ , et de codimension $k$. Il suffit alors de montrer que l'intersection avec $F$ est nulle, c'est-à-dire montrer que pour tout vecteur $x\in F$, il y a une forme linéaire dans $F^*$ non nulle sur $x$. Ca doit se faire par récurrence, mais en tout cas ça se voit bien je pense : par exemple, si $x=v$, on voit que $\phi \circ f^{k-1}$ vaut $1$ sur $x$. Si $x=f(v)$, on voit que $\phi \circ f^{k-2}$ vaut $1$ sur $x$... etc etc, et à la fin, si $x=f^{k-1}(v)=w$, on a bien $\phi$ qui faut $1$ sur $x$. Donc en tout cas, les vecteurs de base de $F$ on voit qu'ils ne sont pas dans $H$ : ça ne prouve pas l'intersection nulle bien sûr, mais ça contient l'idée.

    Des remarques pour finir : la remarque sur le polynôme minimal de $f$ et de ${}^tf$ gagne sans doute à être mise dans le plan, car c'est vraiment élémentaire : Les algèbres $K[f] \subset End(E)$ et $K[{}^tf] \subset End(E^*)$ sont isomorphes, un isomorphisme naturel étant simplement la transposition.
    Sinon, en fait à l'agreg je déconseille fortement ma notation $F^*$ car bien sûr on dirait "dual de $F$", or ce n'est pas tout à fait ça, c'est un sous-ensemble spécifique de $E^*$. Cet espace $F^*$ est effectivement en dualité avec $F$ de façon naturelle (on restreint les formes linéaires sur $E$ au ss-ev $F$, ensuite il faut quand même montrer l'intersection nulle en question), mais sa réalisation à l'intérieur de $E^*$ a nécessité des choix arbitraires (à un moment, on a étendu des formes linéaires arbitrairement : autrement dit au début, on commence par fixer arbitrairement un supplémentaire de $F$, qui évidemment n'a aucune raison d'être stable. SI tu regardes dans Gourdon, c'est ce qui se passe lorsqu'on complète une certaine base : cette complétion de base est arbitraire, elle correspond entre autres au choix d'un supplémentaire. SI ce supplémentaire était déjà par miracle stable, la preuve serait finie, mais comme il ne l'est en général pas, il faut bidouiller).

    Donc pour conclure, de façon générale tout à fait générale, si $F$ est un sous-ev de $E$, il n'y a pas moyen de voir le dual de $F$ comme étant canoniquement inclus dans le dual de $E$.

    Pour revenir au $F^*$ de mon message précédent, je préconise de le noter $F_1$ ou un truc comme ça.

    Et pour finir, le truc avec la correspondance des vecteurs cycliques $v$ et $\phi$ pour les espaces cycliques $F$ et $F_1$ est sans doute intéressante à isoler en lemme au cours du développement. Ca semble même plus fondamental que le supplémentaire, en fait.

    Enfin voilà, mettre au point un développement c'est toujours un processus de maturation assez long, s'il n'est pas pile poil dans un livre. Mais c'est rentable. Après bien sûr faut pas avoir des centaines de développements quoi, il faut optimiser. Genre 30 en algèbre, 30 en analyse. 40 et 40 grand max.
  • Comme $F$ est un sous-espace de $E$, son dual $F^*$ est naturellement un quotient de $E^*$. Ce qu'il y a, c'est qu'ici on peut relever $F^*$ en un sous-espace de $E^*$.
    On peut voir ce texte sur ce sujet.
  • ok merci beaucoup, je mets en page ma demo inspirée de tes commentaires et je la poste pour voir s il n'y a pas d'épines cachées que je n'aurais pa vues.
  • Je ne peux pas d'aider pour ce développent, je l'avais trouvé trop compliqué pour moi et avais prévu un autre (th des noyaux+csq sur la diagonalisation).
    Mais je te souhaite bon courage pour l'année prochaine, tu vas réussir à être admis, il faut que tu y croies.
    Bonne chance.
  • @did63, je pense que les th des noyaux est plus adapté. Si tu abordes Frobenius, tu te places à un niveau au delà de l'agreg interne et tu risque de titiller la curiosité du jury. Il te posera donc forcément des questions (plus ou moins de base) sur ce sujet afin de s'assurer que tu connais vraiment le sujet. Et si tu ne reponds pas, cela risque de faire mal.
    Il ne faut pas forcément faire des choses spectaculaires mais des choses d'un niveau agreg interne (plus ou moins selon des capacités) et bien les maitriser. Cela suffit à avoir des notes confortables. Il est très important de pouvoir répondre correctement aux questions que l'on te pose sur les notions que tu as abordé dans ta leçon.
  • Bonjour,

    Il ya aussi la 2ème épreuve de Maths 1999 du CNC (Concours National Commun marocain) disponible sur le site de l'ups; qui traite de la décomposition en sous-espaces cycliques pour un endomorphisme, d'une maniere élémenteaire.
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