Inégalité de Bernstein

CQFD

Bonjour à tous !

J'ai un petit problème avec une preuve de l'inégalité de Bernstein; celle-ci peut être démontrée à partir des séries de Fourier, mais c'est la preuve fourni dans le livre de Chambert-Loir & Fermigier (exercices d'analyse pour l'agrég, tome 2) qui m'interesse.
Voici la question :
on considère un polynôme trigonométrique $f$ de degré $\le n$ tel que $f'(0)=\|f'\|>n\|f\|$ (où $\|\cdot\|=\|\cdot\|_{\infty}$); soit $g(x)=\dfrac{\|f'\|\sin(nx)}{n}-f(x)$. Il faut montrer que $g''=0$ et aboutir à une contradiction.
Voici la solution :
si $x_{k}=\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}, 0\le k\le 2n$, on a $g(x_{k})>0$ si $k$ est pair, $

Bruno Greco

Calcule g', tu trouves g' positif ou nul ; de plus g'(0)=0, donc g' présente un min en 0

CQFD

Je l'ai déjà fait :
Je dérive, je trouve : $g'(x)=\|f'\|\cos(nx)-f'(x)$
Le signe de $g'(x)$ est le même que celui de $\cos(nx)-\dfrac{f'(x)}{\|f'\|}$...
et là, franchement, je t'avoue que je ne vois pas la positivité de $g'$ !!
Je me demande si je ne vois pas l'évidence auquel cas il faudrait que j'aille m'acheter une canne blanche...
Bruno, tu veux bien préciser comment tu trouves la positivité de $g'$ ?
Merci

Bruno Greco

bé, le cos est inférieur ou égal à 1 en valeur absolue, et f'(x) est inférieur ou égal à ||f'||, non?

CQFD

L'argument est tout à fait valable s'il faut montrer que $\|f'\|-f'(x)\cos(nx)$ est positif. Or, l'expression que l'on considère est $\|f'\|\cos(nx)-f'(x)$, ce qui n'est pas pareil et c'est bien ce qui pose problème !
A la première lecture de la solution, j'ai été un peu vite (peut-être tout comme toi ?); mais en prenant mon stylo, je me suis aperçu que qq chose m'échapait...
Suis-je tjs aveugle face à une évidence ou bien y a-t-il effectivement un pb ?

Bruno Greco

TRES juste!!! Au temps pour moi...

CQFD

ouf, ça me rassure...
j'y ai pas mal réfléchi et je me demande si tout ceci est bien correct
en tout cas, je trouvais l'approche originale et je regrette (si c'est effectivement le cas) qu'on ne puisse aboutir.
Merci d'y avoir réfléchi, Bruno