X 94 option M' seconde épreuve

gram

Bonjour,

je recherche un corrigé de la seconde épreuve de l'X 1994 option M'.
(en fait, je serais déjà preneur de la seule question 4)

Merci d'avance et bonne journée

Doune

Bonjour,

As tu regardé sur UPS concours. Beaucoup de prof de prépa mettent des corrigés sur ce site.

Cordialement

jpmjpmjpm

Bonjour,

Pourrais-tu poster un lien vers le sujet? Merci.

Doune

Bonjour

Oui le voici, il est excellent comme site, je l'ai beaucoup utilisé cette année pour ma préparation. Notamment pour la rédaction.

http://concours-maths-cpge.fr/fichiers.php

gram

Oui, j'étais allé avoir, on ne trouve que le corrigé de l'épreuve 1.

Rouletabille

RMS 1994-95, n° 3-4, novembre-décembre 1994, p. 292.

gram

Merci pour l'info !.. Je pense qu'il est nécessaire de s'abonner pour avoir accès aux documents, je vais voir.

Rouletabille

Tu peux aussi le consulter en bibliothèque, par exemple à Jussieu pour Paris.

jpmjpmjpm

En remarquant que $\Phi_u(x,y)=(\overline{x},H_u(y))$ et en appliquant Cauchy-Schwarz et les cas d'égalité de l'inégalité, tu dois pouvoir pas mal avancer.

gram

J'avais montré que $A_1(u) \le A_2(u)$ (sans douleur) puis que $A_2(u) \le A_3(u)$ (par la même méthode que toi). Puis j'ai vainement cherché à montrer que $A_3(u) \le A_1(u)$ en explicitant $H_u(x)$ et $Q_u(x)$ mais je ne m'en sors pas...

Effectivement, en utilisant le cas d'égalité de CS, je pense avoir maintenant aussi $A_2(u) \ge A_3(u)$...
Reste à voir pour $A_1(u)$

gb

Bonjour,

Il me semble qu'il est plus simple de remonter avec deux inégalités : \(A_3(u) \leqslant A_2(u) \leqslant A_1(u)\).

On commence en écrivant : \(\lVert H_u(x) \rVert^2 = \Phi_u(y,x)\) pour un \(y\) bien choisi, et on majore par \(A_2(u)\) puis par \(A_1(u)\) en usant de l'identité du parallélogramme.

gram

gb, je n'ai pas encore compris comment remonter à $A_1(u)$, mais utilise-t-on la définition de $H$ quelque part ? Je ne m'en suis servi nulle part pour le moment.

gb

Pour prouver que \(\Phi_u\) est symétrique, on a besoin de savoir que \(H\) est autoadjoint.

gram

ok, si je comprends bien, le résultat est valable quel que soit $H$ autoadjoint.
Merci!

jpmjpmjpm

Il faut aussi faire attention au fait que si l'on a bien $\|H_u(x)\|^2 = \Phi_u(y,x)$ pour $y=\overline{H_u(x)}$, $y$ est dans $E$ et non dans $E'$. Il faut alors utiliser la densité de $B'$ dans $B$ et la continuité de $\Phi_u$ par rapport à la première variable pour conclure.

gb

Il faut quand même que \(H\) soit de norme inférieure à 1.

gram

jpmjpmjpm,
merci pour l'info, je n'avais pas pensé à "évaluer" en $y=\overline{H_u(x)}$. J'avais procédé comme suit:

pour $\epsilon\gt 0$, on choisit $y$ dans $B'$ tel que $\|H_u(y)\|\ge A_3(u)-\epsilon$
Puis, en choisissant $x$ de norme $1$ et tel que $\overline{x}$ est colinéaire à $y$, on a
$|\Phi_u(x,y)|\ge A_3(u)-\epsilon$, puis finalement:
$A_2(u)\ge A_3(u)-\epsilon$ qui est vrai quel que soit $\epsilon\gt 0$

gb,
où utilises-tu le fait que $H$ soit de norme inférieure à 1 ?

gb

Effectivement, en écrivant les calculs noir sur blanc, je ne me sers pas de la norme de \(H\).

gram

Pourrais-tu juste détailler comment tu établis $A_3(u)\le A_1(u)$ ou $A_2(u)\le A_1(u)$ ?

gb

Par exemple :

Pour tout vecteur \(x\) de \(E'\) : \(x = \lVert x \rVert x'\) avec \(x'\) appartenant à \(B'\), donc : \(Q_u(x) = \lVert x \rVert^2 Q_u(x')\) et : \(\lvert Q_u(x)\rvert = \lVert x \rVert^2 A_1(u)\).

On utilise l'inégalité du parallélogramme, pour \(x\) et \(y\) dans \(B'\) :
\[\Vert x+y \rVert^2 + \Vert x-y \rVert^2 = 2\Vert x \rVert^2 + 2\Vert y \rVert^2 \leqslant 4\]
et compte-tenu de ce qui précède :
\[\lvert Q_u(x+y)-Q_u(x-y) \rvert \leqslant \lvert Q_u(x+y) \rvert + \lvert Q_u(x-y) \rvert \leqslant \Vert x+y \rVert^2 A_1(u) + \Vert x-y \rVert^2 A_1(u) \leqslant 4A_1(u).\]
Reste à prouver, par polarisation, que :
\[Q_u(x+y)-Q_u(x-y) = 4\Phi_u(x,y).\]

gram

OK!
Merci beaucoup gb et jpmjpmjpm !

jpmjpmjpm

@gb

Un élément complémentaire: on a $|||H_u|||=\|u\|$ vs. $|||H_u||| \leq 1$ me semble-t-il.

gb

Certes, mais une lecture rapide du sujet m'avait fait confondre \(H_u\) et \(u \mapsto H_u\).