ellipses et droites

Bonjour,

je vous propose l'étude de la figure suivante:
Soit E1 l'ellipse d'équation: 4x2 + 2xy + 7y2 -12x - 12y = 0.
Soit E2 l'ellipse d'équation: 4x2 + 2xy + 7y2 -12x - 12y = 24.
Soit E3 l'ellipse d'équation 4x2 + 2xy + 7y2 - 12x - 12y = 72.
Soit D1 la droite d'équation x - 2y = 3
Soit D2 la droite d'équation x - 2y = -3
Soit D3 la droite d'équation 2x + 5y = 0.
Soit D4 la droite d'équation 2x + 5y = 12.
Soit D5 la droite d'équation 4x + y = 0.
Soit D6 la droite d'équation 4x + y = 12.

On pourra déterminer les intersections des droites et des ellipses, les segments ou les triangles de même mesure.

Bien cordialement

kolotoko

Réponses

  • Bonjour

    les trois bandes parallèles déterminent par leurs intersections deux à deux 3 parallélogrammes ayant pour centre le centre des ellipses. On pourrait l'appeler O.

    bien cordialement

    kolotoko
  • xcubko.gif

    Comment aurait fait un taupin en 1850?
    Amicalement
    Pappus
  • Bonsoir,

    merci Pappus pour cette admirable figure.

    Je remarque que Pappus a appelé classiquement O le centre du repère.

    On voit , à condition de tracer encore 6 segments reliant les points(voisins ) intersection de E3 avec les droites, 18 petits triangles isométriques d'aire valant 1 dans un repère orthonormé et on voit encore d'autres alignements.

    Faudrait peut-être nommer les 24+ 1 points concernés.

    Je ne sais pas trop comment on faisait au temps jadis.

    bien cordialement

    kolotoko
  • Mon cher kolotoko
    Je trouve ton exercice très intéressant pour tester les connaissances d'un étudiant d'aujourd'hui sur la théorie des coniques.Je ne parle pas du tracé des six droites, très facile à réaliser, quoique, on pourrait avoir des surprises.
    Il est clair que les coniques sont des ellipses, (si elles sont non vides), car elles partagent les mêmes termes du second degré, à savoir $4x^2+2xy+7y^2$ qui est une forme quadratique définie positive, encore faut-il le montrer et là aussi, on pourrait avoir des surprises.
    Les équations de ces trois coniques ne diffèrent que par leurs termes constants. Ce sont donc des ellipses concentriques, autrement dit elles sont homothétiques par rapport à leur centre commun dont il est facile de déterminer les coordonnées si on sait son cours.
    Pour récupérer les rapports d'homothétie, il faut, comme on le disait autrefois, translater les axes au centre.
    Le groupe des translations n'a pas encore disparu, alors profitons en, encore faut-il savoir le faire opérer sur les coniques et je ne sais pas si les actions de groupe ne se sont pas évaporées elles aussi!
    En tout cas, on trouve pour $E_1$, l'équation $4x^2+2xy+7y^2=12$, pour $E_2$, l'équation: $4x^2+2xy+7y^2=36$, et pour $E_3$, l'équation: $4x^2+2xy+7y^2=84$.
    On passe donc de $E_1$ à $E_2$ par une homothétie de rapport $\sqrt 3$ et $E_1$ à $E_3$ par une homothétie de rapport $\sqrt 7$. Encore faut-il savoir calculer un rapport d'homothétie et ces dernières bestioles apparaissent-elles dans nos programmes en dehors de la définition axiomatique des espaces vectoriels?
    Il reste à tracer avec Cabri la conique $E_1$, le seul problème est que la version de Cabri que je possède ne trace pas de coniques à partir de leur équations cartésiennes. Par contre Cabri trace les courbes paramétrées. Donc on paramètre $E_1$ en la coupant par les droites passant par l'origine d'équations: $y =tx$ et le tour est joué.
    Une fois $E_1$ tracée en tant que courbe paramétrée, on constate les six incidences, ce qui permet de tracer $E_1$ en tant que conique puis de la transformer par l'outil homothétie de Cabri pour obtenir la figure finale.
    Si Cabri ne trace pas les droites et les coniques à partir de leurs équations cartésiennes, par contre il possède un outil donnant l'équation cartésienne d'une droite ou d'une conique dans un repère donné. Ceci m'a permis d'afficher les 9 équations et de vérifier que je retrouvais bien celles de Kolotoko.
    Amicalement
    Pappus
  • Bonjour,
    Pappus a écrit:
    $4x^2+2xy+7y^2$ qui est une forme quadratique définie positive, encore faut-il le montrer et là aussi, on pourrait avoir des surprises.

    $\Delta'=1^2-4\times 7 < 0$

    Centre: $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}\right)$

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour.
    Une transformation affine ne nous laisserait-il pas avec trois cercles concentriques et une étoile de David ?
    Cordialement.
  • Bonjour

    le centre est effectivement celui indiqué par Rescassol.

    il est le milieu de quelques couples de points comme il est aussi le centre de gravité de certains triangles dont les sommets sont choisis parmi les 24 autres points.

    la figure se réalise facilement avec Géogébra.

    bien cordialement

    kolotoko
  • Bonjour,


    croyez vous que les tangentes à E2 en chacun des 6 points construits de E2 recoupent E3 en des points déjà construits ?

    bien cordialement

    kolotoko
  • rkyn1v.gif

    Oui, j'y crois!
    Amicalement
    Pappus
  • Bonjour

    voici ma version:
    33xeexz.jpg[/img]


    bien cordialement

    kolotoko
  • Bonsoir,

    ce que nous dit soland me semble très intéressant.

    Comment mettre cela en oeuvre?

    bien cordialement

    kolotoko
  • 98d5cz.gif
    Où est la difficulté?
    Amicalement
    Pappus
  • Bonjour,

    on voit bien sur cette figure , et en utilisant le théorème Al Kashi, pourquoi les homothéties sont de rapports sqrt(3) et sqrt(7).
    En effet : 3 = 22 + 12 - 2*1 et 7 = 32 + 22 - 3*2 .

    bien cordialement

    kolotoko
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