le point G

Bonjour,

j'aimerais savoir quelle est la démonstration "officielle" , en niveau collège( 4ème ou 3ème ?), du théorème qui dit que les médianes AA', BB',CC' d'un triangle ABC sont concourantes au tiers de leurs longueurs (GA' = AA'/3, etc...) et quels sont les prérequis de la démonstration (si démonstration il y a).

bien cordialement

kolotoko

Réponses

  • Bonjour,

    Dans mon souvenir (je n'ai pas fait ce dm cette annee) cela repose sur la symétrie centrale et les proprietes du parallélogramme. Faisable donc en 4eme avec le recule de sur la 5 ème.

    Cordialement,
  • Bonjour,

    merci de cette réponse.

    Je ne connais pas les classes de collège.

    Si on utilise les propriétés du parallèlogramme, faut-il utiliser le théorème des milieux dans un triangle (est-il justifié et comment ? ) ?

    J' avais en tête une démonstration par les aires.

    bien cordialement

    kolotoko
  • Tu peux le faire en utilisant les deux médianes (AG) et (BG), elles se coupent en G (scoop).
    Tu traces le symétrique de C par rapport à G, tu vas voir apparaître des milieux et des parallélogrammes comme le dit kolotoko. Tu démontres que (CG) est la troisième médiane.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • re,

    (ce qui suit n'a rien d'officiel, c'est plutôt de l'ordre du formalisme)


    pré-requis
    un quadrilatère plan ABCD est un parallèlogramme si et seulement si les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu

    Un quadrilatère ABCD, non croisé, non aplati , qui a ses côtés opposés parallèles et de même mesure ,
    est un parallélogramme.

    raisonnement par l'absurde (le "Faux" ne peut pas être déduit des hypothèses)

    dém

    soit $ABC$ un triangle, $A',B',C'$ les milieux respectif des côtés $[BC],[AC],[AB]$.
    i) les médianes $(AA')$ et $(BB')$ s'intersectent en $G$ sinon ces droites sont parallèles, et $B'$ est situé tout à la fois dans deux demi-plans ouverts disjoints de frontière (AA')


    ii) soient $G_A$ et $G_B$ les symétriques de $G$ par rapport à $A'$ et $'B'$. Sont des parallélogrammes
    $AG_BCG, \, BG_ACG, \, AG_BG_AB$ donc $G$ est milieu de $[AG_A]$, $GA'=\frac{1}{2}AG$

    cordialement,
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