coefficients binomiaux

Bonjour,

une question :

trouver deux coefficients binomiaux de la colonne k du triangle de PASCAL dont la différence est une puissance k-ième d'un entier.

exemple : colonne k = 2 , on a 28 - 3 = 25 = 5^2.
exemple: colonne k = 3 , on a 19600 - 2024 = 17 576 = 26^3.

bien cordialement

kolotoko

Réponses

  • Pour $k=4$ je n'ai pas trouvé de solution dans les 2000 premières lignes.
  • Dans les 10000 premières lignes non plus.
  • Pour $k=5$ on a la solution $\binom{18}{5}-\binom{12}{5}=6^5$.
  • Pour $k=2,3$ il est très facile de fabriquer des familles infinies de solutions :

    $\binom{n+1}{2}-\binom{n}{2}=n^2$

    $\binom{n^3+2}{3}-\binom{n^3}{3}=(n^2)^3$
  • Bonjour

    Le terme de gauche de la première égalité (k=2) vaut n .

    Celle-ci doit être corrigée ainsi :

    $\displaystyle \binom {1+ n^2} 2 - \binom {n^2} 2 = n^2$.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    Il y a une autre formule pour k=2: $${3n-1\choose 2}-{n\choose 2}=(2n-1)^2$$.
  • Pendant qu'on y est : pour $u$ et $v$ de parité opposée, on a
    $$\binom{a}{2}-\binom{b}{2}=c^2$$
    avec $a=\dfrac{3u^2-2uv+3v^2+1}{2}$,

    $b=\dfrac{-u^2+6uv-v^2+1}{2}$,

    $c=u^2-v^2$.
  • @kolotoko merci pour la correction, j'ai écrit trop vite.

    Aurel
  • Bonjour,

    Les formules proposées par JLT ne généralisent pas les deux formules qui précèdent.
    On peut cependant écrire des formules (avec 3 paramètres) qui donnent toutes les solutions entières de l'équation $\displaystyle{a\choose 2}-{b\choose 2}=c^2$:

    $a=\dfrac12(1+(p^2+2q^2)r)$ , $b=\dfrac12(1+|p^2-2q^2|r)$ , $c=pqr$ avec $pr$ impair.

    Pour $p=q=1$ et $r=2n-1$ on obtient $\displaystyle{3n-1\choose 2}-{n\choose 2}=(2n-1)^2$.
    Pour $p=r=1$ et $q=n$ on obtient $\displaystyle{n^2+1\choose 2}-{n^2\choose 2}=n^2$.
    Pour $p=u+v$, $q=u-v$ et $r=1$ avec $u$ et $v$ de parité différente et $u^2+v^2<6uv$ on obtient les formules de JLT.
  • Bonjour,

    Sauf erreur, l'équation $\displaystyle{a\choose
    4}-{b\choose 4}=c^4$ devient l'équation $uv(u^2+v^2-5) =3(2c)^4$ où $u=a-b$ et $v=a+b-3$.
    L'absence de solutions de la première dans les 10000 premières lignes donne à conjecturer que la seconde n'a pas de solution.

    Je pense que ce serait bien de prouver qu'on peut trouver un $p$ tel que $3$ soit une puissance quatrième modulo $p$ tandis $uv(u^2+v^2-5)$ ne le serait pas, mais je n'y arrive pas!

    Cordialement
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